2.2 Колебания и волны.

Колебаниями называются процессы, имеющие определенную повторяемость во времени. В природе и технике широко распространены колебания различной природы: механические, электромагнитные, электромеханические, химические и т.д.. Независимо от природы колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями.

Простейшими считаются гармонические колебания, т.е. колебания вида

(2.24, а)

которые характеризуются амплитудой А, начальной фазой ₀ и частотой ₀, или связанным с ней периодом колебаний Т=2/₀. Функция х(t) в формуле (2.24, а) является общим решением дифференциального уравнения второго порядка

(2.24, б)

которое называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Рассмотрим в качестве примера две идеализированные простые системы, в которых могут происходить гармонические колебания.

1. Пружинный маятник - груз массы m, подвешенный на абсолютно упругой пружине жесткости k. Считая, что при отклонении от положения равновесия x=0 на груз действует только упругая сила F=-kx, запишем уравнение движения маятника (второй закон Ньютона) ma=-kx, или (Точкой над буквой обозначили производную по времени t: ). Сравнивая это уравнение с уравнениями (2.24) легко видеть, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с частотой .

2. Электромагнитный колебательный контур - электрическая цепь из последовательно включенных конденсатора емкости С и катушки индуктивности L. Омическое сопротивление R. Согласно второму правилу Кирхгофа IR+U_c=E_L, где падение напряжения U_c=Q/C, а ЭДС . Таким образом мы получаем уравнение

(2.25)

которое при R=0 переходит в уравнение гармонических колебаний заряда конденсатора Q с частотой .

Сложение гармонических колебаний.

Рис.2

Колеблющаяся величина может одновременно участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание или, иначе говоря, сложить колебания. Найдем вначале сумму 2-х колебаний одного направления и одинаковой частоты, x₁=A₁cos(t+₁), x₂=A₂cos(t+₂), используя метод векторных диаграмм. Последние дают простую наглядную интерпретацию гармонических колебаний вида (2.24, а). Из произвольной точки О оси Х отложим вектор длины А, образующий с осью угол . Проекция вектора на ось Х равна Acos. Будем считать, что вектор A равномерно вращается против часовой стрелки вокруг точки О с угловой

скоростью ₀ так, что угол  изменяется по закону (t)=₀t+₀. Тогда Х - проекция вектора A будет совершать гармонические колебания по закону (2.24, а).

Для сложения колебаний x₁ и x₂ построим векторные диаграммы этих колебаний (Рис.2). Так как векторы A₁ и A₂ вращаются с одинаковой угловой скоростью ₀, то разность фаз (₂-₁) между ними остается постоянной. Очевидно, что искомое результирующее колебание описывается изменением во времени проекции вектора A=A₁+A₂. Уравнение результирующего колебания есть

(2.26)

Подобным образом легко сложить любое число гармонических колебаний одинаковой частоты.

Биения - важный частный случай, когда два складываемых колебания одного направления мало отличаются по частоте. В результате сложения получаются негармонические колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды результирующего колебания называются биениями. Пусть амплитуды колебаний x₁(t) и x₂(t) равны А, а частоты -  и +, причем <<. Начало отсчета времени выберем так, чтобы начальные фазы колебаний равнялись нулю. Для результирующего колебания x(t)=x₁(t)+x₂(t)=Acost+Acos(+)t легко получить следующее выражение x(t)=[2Acos(/2)t]cost (во втором сомножителе мы пренебрегли малой величиной /2 по сравнению с ). Получившиеся колебания описываются произведением двух периодических сомножителей. Поскольку первый сомножитель изменяется намного медленнее второго, колебание x(t) можно рассматривать как гармоническое с частотой , амплитуда которого медленно изменяется со временем по следующему периодическому закону:

Период биений T_б=2/.

Затухающие колебания.

В реальных колебательных системах всегда имеются силы трения, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних источников, колебания будут затухать. Для большого класса механических и электрических колебательных систем “силы трения” пропорциональны скорости изменения колеблющейся величины. Колебания в таких системах описываются дифференциальным уравнением затухающих колебаний

(2.27)

общее решение которого есть

(2.28)

Период затухающих колебаний зависит от частоты свободных незатухающих колебаний ₀ и от коэффициента затухания . Последний определяет также скорость изменения амплитуды затухающих колебаний A(t)=A₀e^-t. Важной характеристикой затухающих колебаний является логарифмический декремент затухания

(2.29)

через который выражаются две другие характеристики: добротность =/ и число колебаний N_e за время затухания =1/, N_e=1/.

Для каждой конкретной колебательной системы основные параметры затухающих колебаний ₀ и  можно выразить через характеристики системы. Например, для электромагнитного L, C, R - колебательного контура, сравнивая уравнения (2.27) и (2.25), легко найти, что

(2.30)

Вынужденные колебания.

Один из способов получить незатухающие колебания в реальной системе - оказать на нее воздействие периодически изменяющейся “силой”. Рассмотрим здесь пример электромагнитного колебательного контура последовательно подключенного к переменной э.д.с. вида U(t)=U_mcost. Используя те же законы, что и при выводе уравнения (2.25) нетрудно получить следующее уравнение

(2.31)

Решение этого уравнения равно сумме общего решения (2.28) однородного уравнения затухающих колебаний и частного решения, описывающего вынужденные колебания с частотой, равной частоте вынуждающей “силы” . Можно проверить, что частное решение имеет следующий вид

(2.31)

где

(2.32)

Рассмотрим более подробно поведение амплитуды Q_m вынужденных колебаний, как функции частоты . При =0 из формул (2.33) находим Q_m(0)=U_m/(L₀²)=CU_m, т.е. значение заряда конденсатора, на который подано постоянное напряжение U_m (статическое отклонение). При больших частотах >>₀ амплитуда быстро убывает: Q_m()=U_m/(L²)0 . При некотором значении частоты _p (резонансная частота) амплитуда достигает максимума. Исследуя Q_m на максимум, легко найти это значение частоты и самой амплитуды:

(2.34)

Из формул (2.34) вытекает, что при малом затухании резонансная амплитуда Q_m(_p)=Q_m(0). Таким образом добротность  характеризует резонансные свойства колебательной системы - показывает во сколько раз амплитуда колебаний при резонансе больше статического отклонения.

Бегущие и стоячие волны.

Процесс распространения колебаний в пространстве называют волновым процессом, или волной. Если колебания являются гармоническими, волна называется синусоидальной (или гармонической). Получим уравнение плоской бегущей волны - волны, которая распространяется вдоль одного фиксированного направления, а колебания, имеющие одинаковую фазу происходят в плоскостях перпендикулярных к направлению распространения волны (к направлению скорости волны). Пусть волна распространяется вдоль оси Х со скоростью V, а источник расположен в точке x=0 и совершает гармонические колебания по закону (0,t)=Acost. В произвольной точке х колебания (x,t) повторяют колебания источника с запаздыванием на время =x/V, необходимое для прохождения волны до этой точки. Таким образом, уравнение плоской бегущей синусоидальной волны есть

(2.35)

В последнем выражении использовано стандартное обозначение волнового числа k=2/, где длина волны =VT=2V/.

Стоячие волны, как следует из названия, описывают установившийся в пространстве процесс колебаний. Образуются стоячие волны при наложении двух бегущих навстречу друг другу синусоидальных волн, имеющих одинаковые частоту и амплитуду: ₁=Acos(t-kx), ₂=Acos(t+kx).

Результат сложения

(2.36)

описывает распределенные в пространстве колебания с частотой , амплитуда которых периодически изменяется с изменением координаты x. В точках с координатами x=m/2, m=0, 1, 2, ..., амплитуда колебаний 2Acoskx достигает максимума, равного 2A. Такие точки называют пучностями стоячей волны. Точки, в которых амплитуда равна нулю, называют узлами. Координаты таких точек определяются уравнением x=(m+1/2)/2, m=0, 1, 2, ... . Стоячие волны, в отличие от бегущих, не переносят энергию в пространстве.