4. Нарахування складних річних відсотків.

Складні відсотки використовуються тоді, коли відсотки одразу після нарахування не сплачуються, а приєднуються до суми боргу.

База для нарахування складних відсотків збільшується з кожним кроком у часі.

Нарощення за складними відсотками є послідовне реінвестування коштів, яке вкладені на один період під простий відсоток.

Капіталізація відсотків - це приєднання відсотків до суми, яка є базою для нарахування в наступному періоді. Отже при застосуванні складних відсотків відбувається їх капіталізація.

В практичних питаннях застосовують дискретні складні відсотки. В теоретичних питаннях фінансового аналізу застосовують і непреривні відсотки.

Формула нарощення за складними відсотками має вигляд:

(23)

де : n - термін угоди у роках; Р - початковий борг; S - кінцева сума боргу; I - річна ставка складних відсотків.

Вираз зветься множником нарощення за складними відсотками. Для цілих і певних значень і він табулюється. Для інших значень (i,n) його треба обчислювати безпосередньо.

Якщо використовуються змінні з часом ставки, то нарощення відбувається за формулою:

(24)

яку корисно порівняти з формулою (6) нарощення за змінною простою ставкою.

Приклад: Відсоткова ставка по позичці дорівнює 30% складних річні. В яку суму обернеться борг рівний 1000 грн. через 3 роки?

Розв’язок. За формулою (23) знаходимо

грн.

Приклад: Складний відсоток по позичці дорівнює 46% плюс маржа 4% в перші два роки і 5% в наступний рік. Знайти множник нарощення за 3 роки.

Розв’язок. За (24) знаходимо

Зобразимо графічно швидкість зростання за простими і складними відсотками. Нехай ставка і однакова:

5. Дисконтування і облік за складними ставками

Математичне дисконтування за складною ставкою, тобто знаходження Р за S, відбувається за формулами, які випливають з (23):

(31)

Вираз

(32)

називається дисконтним множенням складних відсотків. Він табулюється при цілих n для певних значень і, а в інших випадках обчисляється безпосередньо.

Приклад: Визначити теперешню величину 5000 грн., які будуть сплачені через 2 роки при використанні ставки 40% складних річних.

Розв’язок

грн.

Якщо відсотки нараховуються m разів на рік за номінальною ставкою j, то з (28) отримуємо

(33)

де n - кількість років. Отже в цьому разі дисконтний множник дорівнює:

(34)

З (31), (33) знаходимо дисконт суми S:

(35)

або

(36)

Співвідношення дисконтних множників при простій і складній ставці таке (при ):

0

, . (37)

Приклад: Визначити теперішню величину суми 5000 грн., яка буде сплачена через 2 роки. Складна ставка відсотків - 40% річних. Дисконтування щоквартальне.

Розв’язок

грн.

Банківський облік за складною обліковою ставкою проводять за формулою:

(38)

де n - тривалість угоди в роках,

- складна облікова ставка,

S - майбутня сума боргу,

Р - теперішня сума боргу,

- дисконтний множник.

При цьому дисконт, який отримує банк, дорівнює:

(39)

Нехай дисконтування відбувається m разів на рік. Тоді за n років маємо

(40)

де - номінальна облікова ставка. Дисконтування за номінальною ставкою уповільнює процес зменшення S і зменшує суму дисконту.

Ефективна облікова ставка - це така річна ставка, застосування якої еквівалентне застосуванню номінальної . Отже:

та

(41)

З (41) бачимо, що завжди .

За складною обліковою ставкою може проводитись і нарощення:

(42)

Потреба в цьому виникає при заповненні векселя при відомій сумі Р отриманий векселем тримачем. Якщо використовується номінальна ставка, то

(43)

Приклад: Знайти суму дисконту при продажу фінансового інструменту на суму 10000 грн., якщо термін погашення 1,5 року. Продавець застосував складну річну облікову ставку 36%.

Розв’язок

грн.

грн.

Приклад: В умовах прикладу 19 дисконтування відбувається 2 рази на рік.

Розв’язок

P= грн.

D=10000-5510=4490 грн.

Приклад: В умовах прикладу 20 знайти ефективну облікову ставку.

Розв’язок

.

Приклад: Знайти нарощену суму боргу, якщо початкова сума 10000 грн., термін погашення 2 роки. Складна річна облікова ставка 25%.

Розв’язок

грн.