2.2 Вказівки щодо підготовки до заняття

Для успішного виконання даної лабораторної роботи необхідно розглянути методику визначення передавальних функцій АСК з відомою структурою і передавальними функціями окремих ланок, яка наведена в розглянутих далі прикладах.

Приклад 2.2.1 Маємо послідовне з’єднання безінерційної, аперіодичної і інтегруючої ланок з такими передавальними функціями і значення коефіцієнтів: k₁=10; k₂=5; T₂=8; T₃=4; ; ; .

Необхідно визначити передавальну функцію системи і записати по ній диференційне рівняння.

Розв'язок: при послідовному з'єднанні ланок еквівалента передавальна функція дорівнює добутку передавальних функцій ланок, які входять в з'єднання:

або: .

Тепер можна записати диференційне рівняння системи, враховуючи, що:

Тоді: y(p)(32р²+4р)= 50x(p), або, враховуючи зворотне перетворення Лапласа:

Висновок: розглянуте послідовне з'єднання описується диференційним рівнянням другого порядку.

Приклад 2.2.2 Маємо паралельне з’єднання безінерційної, інтег­руючої і реальної диференціюючої ланок, які задані диференційними рівняннями: – безінерційна; – інтегруюча; – реальна диференціююча.

Визначити еквівалентну передавальну функцію.

Розв’язок: використовуючи перетворення Лапласа, одержимо передавальні функції ланок:

;

;

.

Еквівалентна передавальна функція:

.

Після відповідних перетворень:

Використовуючи зворотне перетворення Лапласа, одержимо:

Висновок: розглянуте паралельне з'єднання описується диференційним рівнянням другого порядку.

Приклад 2.2.3 Записати передавальну функцію автоматичної системи, структура якої зображена на рис. 2.1, і зробити для неї зворотне перетворення Лапласа. Вирази для передавальних функцій: ; ; ; ; ; .

Розв'язок: визначаємо еквівалентну передавальну функцію внутрішнього контуру для ланок і . Вони з’єднані зворотнім зв’язком, отже:

.

Рисунок 2.1 – Структурна схема АСК

Визначаємо еквівалентну передавальну функцію паралельно з’єднаних ланок і :

.

Ланки і з’єднані послідовно, тому:

Ланки і з’єднані послідовно, тому:

Визначаємо передавальну функцію замкнутої системи:

Характеристичне рівняння системи:

4 р³ +31р²+71.5р +53 =0.

На основі отриманої передавальної функції робимо зворотне перетворення Лапласа в ПП „Mathcad” (рис. 2.2):

Рисунок 2.2 – Перехідна функція, отримана в результаті зворотного перетворення Лапласа

Записуємо перехідну функцію, отриману в результаті перетворення:

Висновок: автоматична система керування має характеристичне рівняння третього порядку

: дослідження АФХ, АЧХ, ФЧХ елементів сак

3.1 Основні теоретичні положення

Найбільш повне представлення про динамічні властивості елементу дає його перехідна функція.

Перехідною функцією h(t) (або у(t)) називається зміна вихідної величини ланки в часі після подачі на вхід одиничного ступінчастого впливу при нульових початкових умовах.

Перехідна функція задається графічно, або формулою. Формульний вираз перехідної функції можна одержати, якщо розв‘язати диференційне рівняння при: х(t)=1(t); у(-0)=0; у(-0)=0; у(-0)=0,...; у^n-1(-0)=0. Ці умови означають, що вихідна величина у(t) і її похідні до (n-1) порядку безпосередньо перед подачею вхідного впливу рівні 0.

Перехідна функція має дві складові: вимушену h_в(t) і вільну h_вн(t):

h(t) = h_в(t) + h_вн(t). (3.1)

Вимушена складова h_в(t) дає частковий розв‘язок рівняння при ступінчатому впливі. Вона дорівнює усталеному значенню вихідної величини при t :

h_в(t) = у(t) = у( ). (3.2)

Вільна складова h_вн(t) знаходиться із розв‘язку однорідного диференційного рівняння:

(3.3)

де p_k – корені характеристичного рівняння; с_k – постійні інтегрування, які залежать від початкових умов.

Часто процеси, що проходять в окремих ланках системи, недостатньо вивчені і одержати вихідні рівняння для них важко. В таких випадках доцільно використовувати частотні характеристики. Їх можна не лише побудувати за лінеаризованими рівняннями окремих елементів, але й знайти експериментально. Частотні характеристики дають можливість вивчити реакції системи на гармонійні впливи.

Величина амплітуди вихідного сигналу у_m залежить від амплітуди вхідного сигналу х_m і від параметрів самої системи. Щоб виключити вплив х_m, розглядають відношення: .

Залежність відношення амплітуд вихідного і вхідного сигналів від частоти називають амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ) і позначають А=А(ω), а залежність фазового зрушення між вхідним і вихідним сигналами від частоти називають фазо-частотною характеристикою (ФЧХ) і позначають φ=φ(ω). На підставі АЧХ і ФЧХ можна отримати характеристику системи, яка називається амплітудно-фазовою характеристикою (АФХ). Характеристика будується в комплексній площині. Вектор АФХ будується таким чином, що кут з горизонтальною віссю є φ(ω), а сам вектор – А(ω). Кінець вектора А(ω) при зміні від 0 до описує траєкторію, яка називається амплітудно-фазовою характеристикою (АФХ). Проекція вектора АФХ на дійсну вісь називається дійсною частиною АФХ, а проекція вектора АФХ на уявну вісь  уявною частиною АФХ. При побудові АФХ φ(ω) відкладається проти годинникової стрілки, якщо його значення додатне і за годинниковою стрілкою, якщо його значення від‘ємне.

Взаємозв‘язок між АЧХ і ФЧХ може бути виражений так:

. (3.4)

Перевагою АФХ є можливість отримати її із передавальної функції W(р) шляхом підстановки замість р→jω:

. (3.5)

Тобто, АФХ – це відношення зображення по Фур‘є вихідної величини у до зображення по Фур‘є вхідної величини х при нульових початкових умовах.

Оскільки:

,

то ; (3.6)

. (3.7)