4.1 Основні теоретичні положення
Одною з найважливіших характеристик автоматичної системи є стійкість. Система, яка не володіє стійкістю, не може виконувати функції управління і має нульову або навіть від’ємну ефективність. Стійкість автоматичної системи – це властивість системи повертатись у вихідне положення рівноваги після закінчення впливу, який вивів систему із цього стану. Нестійка система не повертається у вихідне положення, а безперервно віддаляється від нього. Необхідною умовою стійкості є додатність всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння.
Критерій стійкості Гурвіца – це алгебраїчний критерій, базується на аналізі характеристичного рівняння системи. Критерій Гурвіца формулюється так: автоматична система, яка описується характеристичним рівнянням:
а0 рп + а1 рп-1 + ... + ап = 0, (4.1)
стійка, якщо головний визначник та всі його діагональні мінори додатні: 1 > 0 , 2 > 0, ... , п > 0.
Головний визначник складають, користуючись наступним правилом: на головній діагоналі записують коефіцієнти характеристичного рівняння від а1 до ап (в порядку зростання індексу), потім в кожному стовпчику вище діагональних коефіцієнтів записуються коефіцієнти з послідовно зростаючими індексами, а нижче – з послідовно спадаючими індексами. При досягненні нульового або п-го індексу далі ставлять нулі (матриця 4.2).
Кожний діагональний мінор Δk-1 визначника Гурвіца утворюють з попереднього мінора Δk шляхом викреслювання нижнього рядка і правого стовпчика (в 4.2 – пунктирні лінії).
Якщо головний визначник або будь-який діагональний мінор рівний 0, а всі решта визначників додатні, то система знаходиться на межі стійкості.
1 2
3
а1 а3 а5 ... 0
а0 а2 а4 ... 0
0 а1 а3 ... 0 (4.2)
... ... ... ... …
0 0 0 ап-2 ап
Розглянемо частковий випадок застосування критерію стійкості Гурвіца. Для рівняння третього порядку:
а0 р3 + а1 р2 + а2 р + а3 = 0,
умова стійкості:
а0>0;
1=a1>0;
=
a1 a2-
а0
а3>0;
3=a32>0.
Остання нерівність при а3 > 0 еквівалентна нерівності 2 > 0.
Отже, для системи третього порядку крім додатності всіх коефіцієнтів вимагається, щоб добуток середніх коефіцієнтів був більший, ніж добуток крайніх коефіцієнтів. Це частковий випадок критерію Гурвіца – критерій Вишнеградського.
4.2 Вказівки щодо підготовки до заняття
Для успішного виконання даної лабораторної роботи необхідно розглянути методику дослідження стійкості АСК за критерієм Гурвіца, що наведені в розглянутих далі прикладах.
Приклад 4.2.1 Дослідимо систему на стійкість за критерієм Гурвіца. Характеристичне рівняння замкнутої системи:
.
Розв‘язок: всі коефіцієнти характеристичного рівняння додатні – виконується необхідна умова стійкості: а0 = 4; а1 = 7; а2 = 10
Запишемо головний визначник Гурвіца та всі його діагональні мінори:
Висновок: оскільки головний визначник Гурвіца і всі коефіцієнти додатні, то система стійка.
Приклад 4.2.2 Передавальна функція розімкнутої системи:
.
Розв‘язок: оскільки критерій Гурвіца досліджує замкнуту систему, то для того, щоб записати характеристичне рівняння, треба прирівняти до 0 суму чисельника і знаменника передавальної функції розімкнутого контуру. Тоді характеристичне рівняння має вигляд:
.
Всі коефіцієнти характеристичного рівняння додатні – виконується необхідна умова стійкості і а0 = 3; а1 = 22; а2 = 25; а4 = 8.
Згідно критерію Вишеградського – частковий випадок критерію Гурвіца – система стійка, якщо а1 а2 а0 а4.
22 25 = 550 3 8 = 24.
Висновок: виконується умова, отже, система стійка.
Приклад 4.2.3 Дослідимо систему на стійкість за критерієм Гурвіца. Характеристичне рівняння замкнутої системи:
.
Розв‘язок: всі коефіцієнти характеристичного рівняння додатні – виконується необхідна умова стійкості. Запишемо головний визначник Гурвіца та всі його діагональні мінори. Для обчислень визначників використаємо ПП „Mathcad”:
Висновок: як бачимо, головний визначник Гурвіца та всі його діагональні мінори додатні, отже, система стійка.
дОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ СаК ЗА КРИТЕРІЄМ Михайлова