5.1 Основні теоретичні положення

Як і критерій Гурвіца, критерій Михайлова базується на аналізі характеристичного рівняння системи. Нехай ліва частина рівняння, що називається характеристичним поліномом, має вигляд:

F(p)= a₀ pⁿ + a₁ p^n-1 + …+ a_n. (5.1)

Підставивши в цей поліном замість змінної р чисто уявний корінь, який в подальшому буде позначатись j , одержимо функцію комплексної змінної:

F(j)= a₀ (j)ⁿ + a₁ (j)^n-1 +…+a_n. (5.2)

Функцію (5.2) можна подати у вигляді суми дійсної і уявної частин:

F(j) = P()+jQ(). (5.3)

Дійсна частина P() містить тільки парні степені змінної :

P()= a_n – a_n-2  ² + a_n-4  ⁴ – …, (5.4)

а уявна частина Q() – тільки непарні:

Q()= a_n-1 – a_n-3  ³ + … (5.5)

Кожному фіксованому значенню змінної  відповідає комплексне число, яке можна зобразити у вигляді вектора на комплексній площині. Якщо змінювати параметр  від 0 до , то кінець вектора F(j) опише деяку криву (рис. 5.1), яка називається характеристичною або годографом Михайлова. По виду цієї кривої судять про стійкість системи.

Формулювання критерію Михайлова: aвтоматична система керування стійка, якщо годограф Михайлова починається на дійсній додатній осі і проти годинникової стрілки послідовно проходить n-квадрантів (n – степінь характеристичного рівняння).

З виразу (5.4) і (5.5) випливає, що крива F(j) завжди починається в точці на дійсній осі, віддаленій від початку координат на величину а_п..

Рисунок 5.1 – Годограф Михайлова

На рисунку 5.2 приведені характеристичні криві, що відповідають стійким системам. Криві мають плавну спіралеподібну форму і прямують у нескінченість в тому квадранті, номер якого рівний порядку рівняння. Якщо характеристична крива проходить п квадрантів непослідовно або проходить менше число квадрантів, то система нестійка (рис.5.3).

Рисунок 5.2 – Приклади годографів стійкої системи

Рисунок 5.3 – Приклади годографів нестійкої системи

5.2 Вказівки для підготовки до заняття

Для успішного виконання лабораторної роботи необхідно розглянути методику дослiдження стійкості АСК за критерієм Михайлова, що наведені в розглянутих далі прикладах.

Приклад 5.2.1 Дослідимо систему на стійкість за критерієм Михайлова. Характеристичне рівняння замкнутої системи:

Розв‘язок: прирівнюємо характеристичне рівняння до якоїсь функції від р:

_{Зробимо заміну замість р  jω і запишемо вираз для годографа Михайлова:}

Розділимо на дійсну і уявну частини:

;

і, змінюючи частоту ω від 0 до , будуємо годограф Михайлова в ПП „Mathcad” (рис. 5.4). Результати розрахунків заносимо в таблицю 5.1.

Рисунок 5.4 – Годограф Михайлова до 5.2.1

Таблиця 5.1 – Результати обчислень Р() і Q()

ω	0	0,4	0,8	1,6	2,4	3,2	4
Р(ω)	3	2,68	1,72	-2,12	-8,52	-17,48	-29
Q(ω)	0	2	4	8	12	16	20

Висновок: система стійка, бо годограф Михайлова починається на дійсній додатній осі, проти годинникової стрілки проходить два квадранти і в другому іде в нескінченість (характеристичне рівняння другого порядку).

Приклад 5.2.2 Передавальна функція розімкнутої системи:

.

Розв‘язок: оскільки критерій Гурвіца досліджує замкнуту систему, то для того, щоб записати характеристичне рівняння, треба прирівняти до 0 суму чисельника і знаменника передавальної функції розімкнутого контуру. Тоді характеристичне рівняння має вигляд:

.

Прирівнюємо характеристичне рівняння до функції від р:

_{Зробимо заміну замість р  jω і запишемо вираз для годографа Михайлова:}

Розділимо на дійсну і уявну частини:

;

і, змінюючи частоту ω від 0 до 4, будуємо годограф Михайлова в ПП „Mathcad” (рис. 5.4). Результати розрахунків заносимо в таблицю 5.2.

Рисунок 5.4 – Годограф Михайлова до 5.2.2

Таблиця 5.2 – Результати обчислень Р() і Q()

ω	0	0,4	0,8	1,6	2,4	3,2	4	10
Р(ω)	8	4,48	-6,08	-48,32	-118,72	-217,44	-344	-2192
Q(ω)	0	9,81	18,46	27,71	18,53	18,3	-92	-2750

Висновок: система стійка, бо годограф Михайлова починається на дійсній додатній осі, проти годинникової стрілки проходить три квадранти і в третьому іде в нескінченість (характеристичне рівняння третього порядку).