23. Прямая в пространств.Сформулировать способы её задания.

Положение прямой в пространстве можно определить если задать какую-либо точку М_0, и вектор S параллельный этой прямой. Пусть координаты вектора S(m;n;p)

Параметрические ур-ния прямой

X=x₀ + m;

Y=y₀ + n;

Z=z₀ + p;

X=

y=

каноническое ур-е прямой в пространстве

В каноническое ур-е вместо x_0, y_0, z₀ подставим координаты точки М₁принадлежит этой прямой А за направляющий вектор М₁ М₂ тогда ур-е прямой преобретёт вид

ур-е прямой проходящей через2 точки.

22.Плоскость в пространстве,различные формы её задания.

Уравнение поверхности в прямоугольной системе координат Оx,y,z наз. ур-е вида F(x,y,z)=O

Простейшей поверхностью является плоскость.

Ур-е прямой проходящей через М₀ (x0,y0,z0) имеющее нормальный вектор

А(x-x₀)+В(y-y₀)+С(z-z₀)=0

A_X+B_Y+C_z+D=0-ОБЩЕЕ УР-Е плоскости.

Частные случаи:

D=0;( A_X+B_Y+C_z=0)-через начало координат

С=0;( A_X+B_Y+D=0) || оси Oz

B=0;( A_X+C_z+D=0)- || OY

A=0;( B_Y+C_z+D=0)- || OX

C=0 И D=0 ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ОСЬ OZ

A=0 И D=0 ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ОСЬ OX

B=0 И D=0 ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ОСЬ OY

A=0 И B=0 - ||XOY

C=0 И B=0 ||OYZ

A=B=D=0 ||XOY

Уравнение проходящее через 3 точки

=0

Уравнение плоскости в отрезках

A_X+B_Y+C_z+D=0

Нормальное ур-е плоскости

A_X+B_Y+C_z+D=0

М= ;

- УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Условие || плоскостей координаты нормальных векторов пропорциональны

Т.Е скалярное произведение =0, =0;

26. Рассмотрим матрицу вида:

А=

Квадратная матрица называется вырожденной, если её определитель=0 и невырожденной, если её определитель ≠0. Если А квадратная матрица, то обратная по отношению к А называется матрица вида:

= , где D – определитель матрицы

D= , которая будучи умноженная на А как слева так и справа даёт единичную матрицу

А , где закон АВ≠ВА не действует!!!

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

1. Вычислить определитель матрицы.

2. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы.

3. Составить матрицу из алгебраических дополнений.

4. Транспонировать полученную матрицу.

5. Полученную транспонированную матрицу умножить на величину обратную определителю.

Обратная матрица существует только для невырожденных матриц.

27. Теорема Крамера: система n-уравнений с n неизвестным, определитель которой отличен от 0 всегда имеет решение и при этом единственное, которое находится следующим образом: значение каждого из неизвестных = дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбцов коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Определителем системы называется определитель, состоящий из коэффициентов при неизвестных.

∆=

;

;

;

1. Единственное решение

2. Множество решений

3. Нет решений хотя бы одно

28. Рассмотрим систему:

А=

X= B=

Матричный вид системы:

A

Домножим обе части уравнения на

Алгоритм решения матричных уравнений вида A

1. Найти матрицу обратную матрице А.

2. Умножить найденную обратную матрицу на матрицу В.

3. Используя определение равных матриц записать ответ.

29. Метод Гаусса состоит в следующем:

1) Системы уравнений приводят к эквивалентной системе с треугольной матрицей.

2) Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок. При этом используют следующие преобразования:

А) умножение или деление коэффициентов свободных членов на одно и то же число;

Б) сложение и вычитание уравнения;

В) перестановку уравнений системы;

Г) исключаем из системы уравнений, в которой все коэффициенты при неизвестном и свободные члены=0.

Системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

30.

Числовой последовательностью или просто последовательностью называется занумерованное множество чисел, расположенных в порядке возрастания номеров.

Числовой последовательностью называется функция x_n= n=1, 2, 3, …, определенная на множестве натуральных чисел. Каждое значение х_n (n=1, 2, 3, …) называется элементом последовательности, а число n- его номером.

Числовую последовательность с элементом x_n обозначают либо x_n, n=1, 2, 3, …, либо (x₁, x₂, … , x_n, …), либо (x_n).

Пример числовой последовательности:

1) 2; 4; 8; 16; 32; 64; … ; 2ⁿ ; … ; (каждому числу этого множества можно приписать № места, которое оно занимает);

2) (с)= (с, с, с …);

3) = ;

4) (cos )= (-1, 1, -1, 1, …).

Числовая последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов; среди них могут быть равные (см. примеры 2) и 4)).

Число а называется пределом последовательности (x_n), если для любого числа найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство

Предел последовательности (x_n) обозначают =a; x_n при n (читается : x_n стремится к а, когда n стремится к бесконечности).

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность, у которой нет предела, называется расходящейся.

Интервал называется - окрестностью точки а и обозначается О(а, ).

Определение предела имеет следующий геометрический смысл: число а является пределом последовательности (x_n), если в Ђлюбой его ε-окрестности находится лишь конечное число данной последовательности .

Последовательность (x_n) называется ограниченной сверху(снизу),если существует такое число А_, что (x_n) ≤А (соответственно (x_n)≥А) для всех номеров n.

Последовательность (x_n) , ограниченная сверху и снизу, называется просто ограниченной.

Теорема. Если последовательность имеет предел, то она ограниченна.

Теорема. Всякая ограниченная сверху(снизу) монотонно возрастающая (монотонно убывающая) последовательность (x_n) имеет предел, причем =sup(x_n) соответственно =inf(x_n).

Если последовательности (а_n) и (b_n) имеют пределы, то проеделы их суммы, разности, произведения, частного существуют и находятся по формулам

lim_n→∞(а_n + b_n)= lim_n→∞ а_n+ lim_n→∞ b_n,

lim_n→∞(а_n - b_n)= lim_n→∞ а_n- lim_n→∞ b_n,,

lim_n→∞(а_n b_n)= lim_n→∞ а_nlim_n→∞ b_n,,

lim_n→∞(а_n /b_n)= lim_n→∞ аn/limn_→∞ b_n._,,

31. Число А называется пределом функции y=f(x) при x, стремящимся к -∞ или +∞, если для любого числа ε›0 можно указать положительное число N, такое, что при всех значениях х, удовлетворяющих условию |f(x)-A|‹ ε.

Число А называется пределом функции y=f(x) на ∞ (или при х→∞) если для всех достаточно больших по модулю значений аргумента х сост. ее значение функции f(x) сколь угодно мало отличается от числа α (на языке б. м.).

Если для люб.ε>0, для люб. х→ α, модуль разности Іf(x) –AІ< ε

( ε>0)( x→∞)(Іf(x)-AІ<ε)

Функция f(x) наз. бесконечно малой(б.м.) при х→ α, если для любого ε>0 существует δ>0 такое, что для всех х из окрестности точки α справедливо неравенство: f(x)<ε

( ε>0)( δ>0)( x 0<Іx-0І<δ)(f(x)<ε)