Свойства функций, непрерывных в точке

1. Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции также непрерывны в этой точке (последняя при условии, что ).

2. Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

35. Точки разрыва функции и их классификация. Непрерывность элементарных функций.

Точка а называется точкой разрыва функции , если функция не является непрерывной в этой точке.

Точка а называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа, т.е. и . При этом:

а) если , то точка а называется точкой устранимого разрыва; б) если , то точка а называется точкой конечного разрыва. Величину называют скачком функции в точке разрыва .

Точка а называется точкой разрыва второго рода функции , если, по крайней мере, один из односторонних пределов (слева или справа) не существует.

Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке . Если же, кроме того, функция непрерывна в точке а справа, а в точке – слева, то функция называется непрерывной на отрезке .

Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках , за исключением конечного числа точек, в которых она имеет разрывы первого рода, а в точках а и имеет соответствующие односторонние пределы.

36. Замечательные пределы.

Предел функции при . Имеет место соотношение

называемое первым замечательным пределом.

Эти равенства называют вторым замечательным пределом.

38. Обратная функция и её непрерывность.

Если функция непрерывна и монотонна на отрезке , то на множестве ее значений существует монотонная, непрерывная обратная функция.

Функции , обратные функциям , в силу названного свойства непрерывны при всех значениях , при которых эти функции определены.

39. Производная функции, её геометрический и физический смысл.

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

37. Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства. Теоремы Больцано-Коши о промежуточном значении.

Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке . Если же, кроме того, функция непрерывна в точке а справа, а в точке b – слева, то функция называется непрерывной на отрезке .

Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке, если она непрерывна во всех внутренних точках, за исключением конечного числа точек, в которых она имеет разрывы первого рода, а в точках а и b имеет соответствующие односторонние пределы.

Первая теорема Больцано-Коши. Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка , в которой .

Вторая теорема Больцано-Коши. Пусть функция непрерывна на отрезке , причем . Тогда, если С – любое число, лежащее строго между и , то существует точка , такая, что .