15. Парабола. Ее характеристики.

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и от данной прямой L, называемой директрисой.

Параметр параболы – расстояние от фокуса до директрисы.

Каноническое уравнение параболы:

Уравнение имеет смысл только для неотрицательных значений х, т.е. все точки параболы лежат в I и IV квадрантах. Парабола симметрична относительно оси Ох.

Точка О называется вершиной параболы, ось симметрии (ось Ох)– осью параболы. Параметр р характеризует «ширину» области, ограниченной параболой.

Парабола, определяемая уравнением , расположена слева от оси ординат. Ее вершина совпадает с началом координат О, осью симметрии является ось Ох.

Уравнение , является уравнением параболы с вершиной в точке О и осью симметрии Оу. Такая парабола лежит выше оси абсцисс. Уравнение , определяет параболу, которая лежит ниже оси Ох, с вершиной в точке О и осью симметрии Оу.

16. Уравнение кривых второго порядка в полярной системе координат.

Утверждение 1. Отношение расстояния r от произвольной точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию d от этой точки до соответствующей директрисы есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса (гиперболы), т.е. .

Заметим, что таким же свойством обладает и парабола, если считать .

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах.

Обозначим через F фокус кривой, через – директрису. Введем полярную систему координат таким образом, что ее полюсом является точка F, а ось перпендикулярна директрисе (рис. 3).

Утверждение 2.Уравнение

(1)

во введенной системе координат определяет эллипс, если ; гиперболу, если и параболу, если .

Уравнение (1) называется полярным уравнением эллипса, параболы, гиперболы. В случае гиперболы это уравнение определяет одну из двух ее ветвей. Отметим, что для параболы параметр р в уравнении (1) совпадает с ее параметром р из §10, а для эллипса и гиперболы

17. Различные способы задания плоскости в пространстве. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.

Общее уравнение плоскости: Ax +By + Cz + D = 0

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Уравнение плоскости в отрезках:

Условие параллельности плоскостей (1) совпадет с условием коллинеарности векторов и и имеет вид

.

Отсюда вытекает также условие совпадения плоскостей (1):

Условие перпендикулярности плоскостей (1) есть вместе с тем и условие перпендикулярности нормальных векторов и :

.

Углом между плоскостями называется любой из двух смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями. Сумма этих смежных двугранных углов равна . Один из этих углов определяется как угол между нормальными векторами и к этим плоскостям:

.

Расстояние d от точки до плоскости находится по формуле

.