9. Скалярное произведение векторов. Условие перпендикул. Двух векторов. Механический смысл скалярного произведения векторов.
Скалярным
произведением
двух ненулевых
векторов называется число, равное
произведению длин векторов на косинус
угла между ними:
Скалярное
произведение обозначают символом
,
или
,
или
.
Механический смысл скалярного произведения. Скалярное произведение двух векторов численно равно работе некоторой силы при перемещении тела под действием этой силы.
Условие перпендикулярности двух векторов. Два ненулевых вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
10. Ориентация тройки векторов в пространстве. Векторное произведение векторов. Физический смысл векторного произведения векторов. Условие коллинеарности векторов.
Ориентация тройки векторов в пространстве. Тройку векторов называют упорядоченной, если указано, какой из векторов считается первым, какой вторым и какой третьим.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу кратчайший поворот от первого ко второму вектору наблюдается с конца третьего вектора против часовой стрелки. В противном случае указанная тройка векторов называется левой.
Векторным
произведением
векторов
и
называется вектор
,
длина которого численно равна площади
параллелограмма, построенного на
векторах
и
,
приведенных к общему началу, который
перпендикулярен перемножаемым векторам
и направлен так, что векторы
образуют правую тройку
векторов.
Если векторы и коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору.
Векторное
произведение двух векторов
и
обозначают символом
,
или
,
или
.
Физический
смысл векторного произведения.
Таким образом, момент силы
относительно некоторой точки
,
есть векторное произведение радиус–вектора
точки приложения силы на вектор силы
:
Два
ненулевых вектора
и
коллинеарны
тогда и только тогда, когда их координаты
пропорциональны:
11. Смешанное произведение векторов. Условие компланарн. трех векторов.
Пусть
даны три вектора
и
.
Умножим
вектор
векторно на
,
а полученный вектор
умножим
скалярно
на
и тем самым определим число
.
Оно называется
векторно-скалярным
или смешанным
произведением трех векторов
обозначают также
,
или
,
или
.
Смешанное произведение выражается:
Необходимым
и достаточным условием компланарности
векторов
является равенство нулю их смешанного
произведения:
.
12. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом:
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
Общее уравнение прямой: Уравнение прямой в «отрезках»:
Ax
+ By
+ C
= 0
Взаимное расположение двух прямых на плоскости: Две прямые на плоскости либо пересекаются в одной точке, либо совпадают, либо параллельны.