1. Поняття множини. Способи задання множини
Теорія множин є теоретичною основою не лише дискретної, а й усієї сучасної математики.
Офіційно теорія множин була визнана наприкінці XIX ст., коли вона широко застосовувалася в математичному аналізі. Теорія множин з'явилася основою створення алгебраїчних систем, що мають велике практичне застосування при розробці математичного забезпечення ЕОМ.
Більшу частину понять дискретної математики можна визначити за допомогою поняття множини. В понятті множини виявляється високий рівень абстракції, який притаманний математиці. Поняття множини і її елемента відносять до основних, первинних понять математики. Вважають, що ці поняття, які і будь-які інші вихідні поняття деякої математичної теорії, не визначаються.
Під множиною розуміють сукупність певних об’єктів, які об’єднані спільними властивостями. При цьому природа самих об'єктів, що становлять ту або іншу множину нас не буде цікавити. Творець теорії множин Георг Кантор давав наступне означення множини – "множина є багато чого, мислиме нами як ціле."
У повсякденному житті та практичній діяльності для позначення поняття множини використовують також слова: набір, клас, система, комплекс і т. ін. Але й у математиці термін множина має низку синонімів. Так, замість «множина значень змінної» можна сказати «область значень змінної», замість «множина кривих» – «сім’я кривих», замість «множина двох рівнянь» – «система двох рівнянь» і т. ін.
Об’єкти будь-якої природи, що утворюють множину, називаються її елементами. Наприклад, в множині студентів університету елементом буде студент, в множині днів тижня елемент – «четвер». Елементами множин можуть бути самі множини. Наприклад, множина академгруп університету, кожна академгрупа – множина студентів.
Для
позначення конкретних множин використовують
великі букви латинського алфавіту:
або
великі букви з індексами
.
Для
деяких особливо важливих числових
множин прийняті стандартні позначення,
яких слід дотримуватися. Так, буквами
,
,
Q, R позначають
відповідно множину натуральних чисел,
множину цілих чисел, множину раціональних
чисел і множину дійсних чисел.
Для
позначення елементів множин використовують
малі букви латинського алфавіту:
або малі букви з індексами
.
Належність
елемента множині позначається символом
:
– елемент
належить множині
(знак
є стилізацією першої букви грецького
слова
– бути, існувати); неналежність елемента
множині позначається символом
:
.
Означення.
Множина
називається скінченою,
якщо вона складається з скінченого
числа елементів. Кількість елементів
у скінченій множині
називається потужністю
множини
и позначається
.
Множина, що не містить жодного елемента,
називається порожньою
і позначається символом .
Множина вважається заданою, якщо про будь-який її елемент можна сказати, належить він цій множині чи не належить.
Способи задання множин
1. Найбільш природним є спосіб задання множини переліком (або списком) елементів.
Наприклад:
.
Порядок елементів у записі множини значення не має:
.
Вважається, що всі елементи множини різні. Цей спосіб завдання застосовується тільки для скінчених множин з невеликим числом елементів. Тому множини часто задають переліком частини множини, з якого можна зрозуміти, що являє собою вся множина.
Приклади стислого представлення множин:
1.
;
2.
;
3.
.
2. Універсальним є спосіб задання множини за допомогою характеристичних властивостей її елементів (тобто властивостей, які мають всі елементи даної множини і тільки вони). Наприклад:
1.
,
2.
;
3.
.
3. Аналітичний, за допомогою символів операцій над множинами та дужок.
4. Вербальний (мовний) за допомогою опису характеристичних властивостей, які повинні мати елементи множини.