10. Відношення порядку
З поняття рівності між числами випливає більш широке поняття відношення еквівалентності на множинах. За аналогією деякі нерівності також можуть бути використані як моделі для більш широкого класу відношень.
Означення. Відношення називається відношенням нестрогого порядку, якщо воно рефлексивне, антисиметричне і транзитивне.
Відношення
нестрогого порядку є узагальненням
відношення
на множині натуральних чисел
,
тому можна легко перевірити властивості
цього відношення:
1)
рефлексивність: 
2)
антисиметричність:
;
3)
транзитивність: 
Означення. Відношення називається відношенням строгого порядку, якщо воно антирефлексивне, асиметричне і транзитивне.
Відношення
строгого порядку є узагальненням
відношення
на множині натуральних чисел
,
тому можна легко перевірити властивості
цього відношення:
1)
антирефлексивність: 
2)
асиметричність: 
;
3)
транзитивність: 
Обидва типи відношень називаються відношенням порядку.
Означення.
Множина
,
на якій задане відношення порядку,
називається цілком
впорядкованою,
якщо будь-які два елементи з
знаходяться в цьому відношенні і
частково впорядкованою
в противному випадку.
Означення.
Відношення
порядку
називається
відношенням
лінійного
порядку,
якщо додатково виконується властивість:
(для нестрогого порядку) або
(для
строгого порядку).
Означення. Множина , на якій задане відношення лінійного порядку, називається лінійно впорядкованою.
Приклади:
1.
і
– відношення нестрогого порядку для
чисел;
і
– відношення строгого порядку. Обидва
відношення цілком впорядковують множини
і
.
2. На множині підмножин множини відношення нестрогого включення задає нестрогий частковий порядок, а відношення строгого включення задає строгий частковий порядок.
Перевіримо властивості відношення нестрогого включення :
1)
рефлексивність:
;
2)
антисимметричність:
;
3)
транзитивність: 
.
Означення. Відношення називається відношенням домінування, якщо воно антирефлексивне, асиметричне і для нього може не виконуватися властивість транзитивності.
Означення. Відношення називається відношенням толерантності, якщо воно рефлексивне, симетричне, але не транзитивне.