I. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

§ 1.1. Понятие функции нескольких переменных

1. Понятие n – мерного евклидова пространства

Будем называть n-мерной точкой М упорядоченную совокупность n действительных чисел (х₁, х₂, …, х_n). Сами числа х₁, х₂, …, х_n называются координатами точки М(х₁, х₂, …, х_n). Множество всевозможных n-мерных точек называется n - мерным арифметическим (координатным) пространством Aⁿ.

Определение 1. Арифметическое n-мерное пространство Aⁿ называется евклидовым n-мерным пространством, если для любых двух точек и арифметического пространства Aⁿ определено расстояние (метрика) по формуле:

 (М  , М ´´) =  (1)

Евклидово n-мерное пространство обозначается символом Rⁿ.

При n = 1 евклидово пространство R¹ представляет собой координатную прямую. Применим формулу (1) для нахождения расстояния между точками M₁( x₁) и M₂( x₂):

 (M₁, M₂) =  = | x₁  x₂|.

При n = 2 евклидово пространство R² представляет собой координатную плоскость и точки пространства R²  это точки координатной плоскости, координаты которых обычно обозначаются (х, у). Расстояние между этими точками M₁ (x₁, y₁) и M₂ (x₂, y₂) находится по формуле

.

При n = 3 получим знакомое нам координатное пространство, точки которого имеют координаты (х, y, z).

При n > 3 пространство Rⁿ уже не имеет геометрической интерпретации.

Будем обозначать символом {M} некоторое множество точек n-мерного евклидова пространства Rⁿ. Введем определения некоторых важных множеств.

1. Множество {M} точек пространства Rⁿ, координаты которых удовлетворяют неравенству  (M, M₀)  R (R  0) или , где точка M₀  некоторая фиксированная точка множества {M}, а точка М(х₁, х₂, …, х_n)  произвольная точка этого множества, называется n-мерным замкнутым шаром радиуса R с центром в точке M₀.

Множество {M} точек пространства Rⁿ, удовлетворяющее строгому неравенству  (M, M₀) < R, называется открытым n-мерным шаром.

Так, в пространстве R³ это множество является шаром радиуса R с центром в точке M₀(x₀, y₀, z₀). В пространстве R²  кругом радиуса R с центром в точке M₀(x₀, y₀). В пространстве R¹  отрезком длинной 2R с серединой в точке M₀(x₀).

2. Множество {M} точек пространства Rⁿ, удовлетворяющих равенству  (M, M₀) = R, называется n – мерной сферой радиуса R с центром в точке M₀.

3. Множество {M} точек пространства Rⁿ, координаты которых удовлетворяют неравенствам , (d_i   0, i = 1, 2, …,n) называется n-мерным координатным параллелепипедом. При этом точка называется центром этого параллелепипеда.

Если координаты множества {M} удовлетворяют строгим неравенствам , то множество {M} называется открытым n-мерным координатным параллелепипедом.

4.  - окрестностью точки M₀ пространства Rⁿ называется открытый n-мерный шар с центром в точке M₀ и радиусом равным .

5. Прямоугольной окрестностью точки M₀ пространства Rⁿ называется открытый n-мерный координатный параллелепипед с центром в точке M₀.

Пусть {M} некоторое множество точек n-мерного евклидова пространства Rⁿ. Введем следующие понятия.

1. Точка M множества {M} называется внутренней точкой этого множества, если существует – окрестность этой точки, принадлежащая множеству {M}.

2. Точка А называется предельной точкой множества {M}, если в любой - окрестности точки содержится хотя бы одна точка этого множества, отличная от А.

3. Точка А называется граничной точкой множества {M}, если любая  - окрестность этой точки содержит как точки, принадлежащие множеству {M}, так и точки, не принадлежащие ему.

4. Множество {M} называется открытым множеством, если любая точка этого множества внутренняя.

5. Если все граничные точки множества {M} принадлежит этому множеству, то множество {M} называется замкнутым.

Можно дать определение, эквивалентное приведенному выше: если все предельные точки множества {M} принадлежит этому множеству, то множество {M} называется замкнутым.

6. Если множество {M} является открытым множеством, то множество , полученное присоединением к {M} всех граничных точек этого множества, называется замыканием множества {M}.

7. Множество {M} называется ограниченным, если существует такое действительное число R > 0, что все точки множества лежат внутри шара .

8. Множество {M} называется компактным, если оно ограничено и замкнуто.

9. Непрерывной кривой L в пространстве Rⁿ называется множество {M} точек этого пространства, координаты х₁, х₂, …, х_n которых представляют собой непрерывные функции параметра t:

10. Множество {M} пространства Rⁿ называется связным, если две любые его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.

11. Областью называют открытое и связное множество.