6. Основные теоремы о непрерывных функциях

n – переменных

Сформулируем основные теоремы о непрерывных функциях многих переменных.

Теорема 8 (арифметические свойства непрерывных функций). Сумма, разность, произведение и частное двух непрерывных в точке A функций, есть функция непрерывная в этой точке (в случае частного функция, стоящая в знаменателе дроби, не равна нулю в точке A).

Теорема 9 (о сохранении знака непрерывной функции). Если функция u = f (M) непрерывна в точке A пространства Rⁿ и если f (A)  0, то существует такая -окрестность точки A, во всех точках которой функция u = f (M) не обращается в нуль и имеет тот же знак, что и f (A).

Теорема 10 (о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение). Пусть функция u = f (M) непрерывна на множестве {M} ({M} - связное множество из пространства Rⁿ). и f (A) и f (B) – значения этой функции в точках A и B этого множества. Пусть c – число лежащее между числами f (A) и f (B). Тогда на любой непрерывной кривой, соединяющей точки A и B и целиком лежащей во множестве {M} найдется такая точка C, что f (C) = c.

Для непрерывных функций многих переменных справедливы теоремы, аналогичные первой и второй теоремам Вейерштрасса об ограниченности функции одной переменной на отрезке и достижении ею своей точной верхней и точной нижней граней.

Определения ограниченной сверху, снизу, ограниченной на множестве {M} функции u = f (M) аналогичны соответствующим определениям, введенным для функции одной переменной (см. [9], гл. III, §3.1, п.2 ).

Теорема 11 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция u = f (M) непрерывна на компактном множестве {M}, то она ограничена на этом множестве.

Теорема 12 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция u = f (M) непрерывна на компактном множестве {M}, то она достигает на этом множестве своих точной верхней и точной нижней граней.

Введем понятие сложной функции многих переменных. Пусть функции

(5)

заданы на множестве {T} пространства R^m. Тогда каждой точке Т (t₁, t₂, …, t_m)  {T} ставится в соответствие с помощью формул (5) точка М (х₁, х₂, …, х_n)  {M} пространства Rⁿ. Пусть на множестве {M} определена функция u = f (х₁, х₂, …, х_n) = f (M). Тогда говорят, что на множестве {Т} т-мерного евклидова пространства определена сложная функция

u =  f (₁(t₁, t₂, …, t_m), ₂(t₁, t₂, …, t_m), …, _n(t₁, t₂, …,t_m)).

Замечание. Для краткости будем обозначать соотношения (5) следующим образом: x =  (t), где (х) = (х₁, х₂, …, х_n)  точка пространства   Rⁿ , а (t) = (t₁, t₂, …, t_m)  точка пространства   R^т. Тогда сложную функцию

u = f ( ₁(t₁, t₂, …, t_m) ,  ₂(t₁, t₂, …, t_m) , …,  _n(t₁, t₂, …, t_m))

можно записать следующим образом:  u = f ( (t)). Справедлива следующая теорема.

Теорема 13 (о непрерывности сложной функции). Пусть функции х₁ =  ₁(t₁, t₂, …, t_m),  х₂ =  ₂(t₁, t₂, …, t_m),  …, х_n =  _n(t₁, t₂, …, t_m) непрерывны в точке В (t₁, t₂, …, t_m)  R^m, u = f (х₁, х₂, …, х_n) непрерывна в точке A (а₁, а₂, …, а_n)  Rⁿ , где . Тогда сложная функция u = f ( (t)) непрерывна в точке B.

Введем понятие равномерной непрерывности функции многих переменных.

Определение 11. Функция u = f (M) называется равномерно непрерывной на множестве {M} пространства Rⁿ, если для любого  > 0 найдется такое  > 0, что для любых двух точек и из множества {M} таких, что справедливо неравенство .

Теорема 14 (о равномерной непрерывности). Непрерывная на компактном множестве {M} функция равномерно непрерывна на этом множестве.

Назовем диаметром ограниченного множества {M} точную верхнюю грань чисел , где и любые точки из множества {M}. Колебанием функции u = f (M) на замкнутом множестве {M} называется разность между точной верхней и точной нижней границами этой функции на данном множестве   = sup f (M)  inf f (M).

Следствие. Если функция f(M) непрерывна на компактном множестве {M}, то для любого  > 0 найдется такое  > 0, что на каждом принадлежащем множеству {M} замкнутом подмножестве, диаметр которого меньше , колебание функции  < .