Решение.

Найдем частные производные функции в произвольной точке

 = 2 x cos ( x² +  y² +  z² + ),

 = 2 y cos ( x² +  y² +  z² + ),

 = 2 z cos ( x² +  y² +  z² + ).

Найдем значение этих производных в точке M₀

 = 2,  = 2,  = 2.

Тогда, по формуле (5),

du(М₀) = 2 dx + 2 dy + 2 dz = 2 (dx + dy + dz).

Теорема 2. Пусть у функции u = f (х₁, х₂, …, х_n) в некоторой окрестности точки М существуют частные производные по всем аргументам, непрерывные в точке М. Тогда функция u = f (х₁, х₂, …, х_n) дифференцируема в точке М.

Замечание. Эта теорема говорит о том, что в отличие от функции одной переменной, для дифференцируемости функции многих переменных в точке M не достаточно существования в этой точке частных производных функции по всем переменным. Требуется:

а) существование частных производных в некоторой окрестности точки M,

б) непрерывность частных производных в точке М.

Пример 2. Доказать,

1) что функция z = имеет частные производные z и z в точке О(0, 0), но не является дифференцируемой в этой точке;

2) что частные производные функции не являются непрерывными в точке О.

Решение.

1. Докажем, что функция z = не является дифференцируемой в точке О(0, 0), но частные производные z и z в этой точке существуют.

Частные производные функции z = в точке О(0, 0) найдем исходя из определения 1. Для этого найдем частные приращения функции в точке О(0, 0):

_х z = z (х, 0)  z (0, 0) = 0,

_у z = z (0, у)  z (0, 0) = 0.

Тогда z  =  =   = 0, аналогично, z  = 0.

Докажем, что функция не является дифференцируемой в точке О(0, 0). Для этого рассмотрим приращение функции в этой точке.

Докажем, что не существует. Для этого можно показать, что данный предел зависит от углового коэффициента k прямой у = kx, по которой точка M ( )  О (0, 0) (доказательство аналогично доказательству, приведенному в примеру 3, п. 4, §1.1). Тогда . Значит, приращение функции   нельзя представить по формуле (4), т.е. функция не дифференцируема в точке О(0, 0).

2. Докажем, что частные производные функции в этой точке О(0, 0) на являются непрерывными, т.е. не выполняются равенства

z (х, у) = z (0, 0), z (х, у) = z (0, 0).

Найдем частные производные функции в произвольной точке М области определения функции отличной от точки О(0, 0):

z  =  , z  =  .

Аналогично примеру 3, п. 4, §1.1 можно доказать, что  z (х, у) =  и z (х, у)  =  не существуют. Значит,  частные производные функции в точке О(0, 0) не являются непрерывными. Тогда, по теореме 2 функция не является дифференцируемой в этой точке.

3. Геометрический смысл частных производных и дифференцируемости функции n-переменных

Г еометрический смысл частных производных функции n-переменных.

Рассмотрим функцию z = f (x, y), определенную на множестве {M}. Графиком функции является некоторая поверхность в пространстве. Пусть точка М₀ (х₀,  у₀, 0)  это проекция точки N₀ (х₀,  у₀, f (x₀, y₀)), принадлежащей данной поверхности.

Пусть в точке M₀  {M} функция имеет частную производную . Для нахождения данной частной производной функции зафиксируем переменную y = y₀. На поверхности плоскость y = y₀ отсекает кривую l₁, и на этой кривой функция z = f (x, y) является функцией от одной переменной z = f (x, y₀). Тогда

 =  = tg ,

где   угол между касательной к кривой l₁ и положительным направлением оси OX.

Аналогично, геометрический смысл частной производной определяется как тангенс угла, образованного касательной к кривой l₂, в точке N₀. Кривая l₂  линия пересечения графика функции z = f (x, y) с плоскостью x = x₀.

Геометрический смысл дифференцируемости функции n-переменных.

В случае функции двух переменных условие дифференцируемости имеет следующий геометрический смысл.

Рассмотрим поверхность, являющуюся графиком функции z = f (x, y), точку N₀(х₀,  у₀, f (x₀, y₀)) поверхности и произвольную точку N(х,  у, f (x, y)) также принадлежащую данной поверхности.

Определение 3. Плоскость , проходящая через точку N₀ поверхности, называется касательной плоскостью к данной поверхности в точке N₀, если угол  между секущей NN₀ и плоскостью  стремится к 0 при N  стремящейся к  N₀ (см. рисунок 1.3).

Теорема 3. Если функция z = f (x, y) дифференцируема в точке М₀(х₀,  у₀), то существует касательная плоскость, проведенная к графику этой функции в точке N₀(х₀,  у₀, z₀), где z₀ = f (x₀, y₀), уравнение которой может быть записано в виде

z  z₀ =  (x  x₀) +  (y  y₀) . (6)

Нормальный вектор =  касательной плоскости принято называть нормалью к поверхности z = f (x, y) в точке N₀(х₀,  у₀, z₀).

Пример 2. Составить уравнение касательной плоскости к графику функции z = x² + y² в точке N₀(1, 2, 5) и найти нормаль к этой поверхности в точке N₀.