31. Дифференциальные уравнения движения твердого тела вокруг неподвижного центра.Случаи их интегрирования.

НАЧИНАЯ СО строки # 2 ДОЛЖНА БЫТЬ ЧАСТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ

Динамические уравнения Эйлера и кинематические ур-я Эйлера(последние три):

На сегодняшний день известно три частных случая интегрирования динамических уравнений Эйлера:

1. случай Эйлера: случай произвольного твердого тела, центр тяжести которого совпадает с неподвижной точкой. Все внешние силы(включая реакцию неподвижной точки) представляют уравновешенную систему сил .

2. Случай Лагранжа : в этом случае предпрлагается наличие у тела оси динамической симметрии( Ixx =Iyy)Центр тяжести тела может располагаться где годно на оси.

3. Случай Ковалевской :Кроме наличия оси динамической симметрии, должно выполняться условие Ixx =Iyy=2Izz(I- момент инерции ),а центр тяжести тела лежит в плоскости ОХУ, т.е z=0.

32.Определение интегралов уравнений движения твердого тела вокруг неподвижного центра в случае Эйлера.

Случай произвольного твердого тела, центр тяжести которого совпадает с неподвижной точкой. Следовательно, момент внешних сил относительно неподвижного центра будет нулевым

(1)-постоянство кинетического момента

(2)-постоянство кинетической энергии

Умножая динамическое уравнение Эйлера на w_x ,w_y w_z соответсвенно поучаем (1)

При умножении Динамического уравнения Эйлера на Yw и складывая между собой получаем (2)

33.Регулярная прецессия твердого тела в случае Эйлера .

Движение твердого тела вокруг неподвижной точки, состоящее из его вращения вокруг оси, неизменно связанной с телом, и движения, при котором эта ось вращается вокруг пересекающей ее оси, неподвижной в рассматриваемой системе отсчета, называют прецессией. Прецессия называется регулярной, если вращение тела вокруг неизменно связанной с ним оси и вращение самой этой оси происходят с постоянными по модулю угловыми скоростями. пример Прецессий-юла(на маленькой скорости).

Динамически симметричное тело в случае Эйлера совершает регулярную прецессию

µ - угловая прецессия.

(5) проекции кинетического момента

34.Определение интегралов уравнений движения твердого тела вокруг неподвижного центра в случае Лагранжа. Случай Лагранжа : в этом случае предпрлагается наличие у тела оси динамической симметрии( Ixx =Iyy)Центр тяжести тела может располагаться где годно на оси.

35.Вынужденная регулярная прецессия твердого тела .

36. Элементарная теория , свойства и применение гироскопов.

Под гироскопом понимают твердое симметричное тело, которое может вращаться вокруг оси симметрии с угловой скоростью, значительно превышающей скорость самой оси симметрии. (Свободный гироскоп) в этом случае моменты всех внешних сил, включая и силу тяжести, относительно центра масс гироскопа равны нулю. Это можно реализовать, например, поместив гироскоп в карданов подвес. И момент импульса сохраняется:

2)Выражает т.Резаля : скорость конца вектора момента количеств движения(кинетического момента) равна главному моменту всех внешних сил. 3) З-н прецессии оси гироскопа. Движение оси гироскопа под действием приложенной силы называют прецессией, а угловую скорость вращательного движения оси – угловой скоростью прецессии оси гироскопа. Под действием внешних сил ось быстро вращающегося трехстепенного гироскопа начинает прецессировать. Скорость конца вектора кинетического момента, направленного по оси симметрии гироскопа, равна по модулю и совпадает по направлению с главным моментом относительно точки подвеса внешних сил.Угловая скорость прецессии, определяемая равенствами , пропорциональна главному моменту внешних сил и обратно пропорциональна кинетическому моменту гироскопа и синусу угла между осью гуроскопа и вектором угловой скорости прецессии.

Основное св-во свободного гироскопа: Подействуем на гироскоп кратковременной силой , возникшей при ударе; по т Резаля скорость не будет равняться 0 только в промежутке времени действия этой кратковр-й силы . то ось гироскопа практически не изменит своего направления. Ось быстро вращающегося свободного гироскопа устойчиво сохраняет свое направление в инерциальной системе отсчета; удары или толчки могут вызвать вибрацию оси гироскопа очень малой амплитуды , но не отклонение её от первоначального положения .

Применения гироскопов: 1)В качестве компаса. Свободный гироскоп сохраняет свою ориентацию в пространстве (например, направление на полярную звезду) независимо от движения Земли и всевозможных толчков. Заметим, что пользоваться этим компасом можно только в течение ограниченного времени, пока силы трения в подшипниках не "уведут" ось гироскопа.2)В качестве автоматического устройства управления курсом торпед. Ось гироскопа сохраняет свое направление на цель, в то время как ее ориентация относительно корабля может меняться. При этом включаются двигатели, производящие переориентировку торпеды.3)В качестве автопилота в летательных аппаратах. В данном случае используется два гироскопа. Один задает горизонтальную плоскость, а второй - направление. И тд)

37.Динамика движения ТВ тела. Векторная и скалярная формы уравнения движения. Количество движения, момент количества движения и кинетическая энергия тела.

39. Уравнение Лагранжа II рода

Уравнения Лагранжа второго рода – это дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах. Как и раньше, считаем, что связи, наложенные на систему, − голономные, стационарные и идеальные. Для получения уравнений движения воспользуемся общим уравнением динамики:   .

Для системы со стационарными связями виртуальное перемещение  -й точки  выражается, как было показано раньше, через обобщенные координаты соотношением   . 

Подстановка его в общее уравнение динамики дает:

.

 Перегруппируем слагаемые, меняя порядок суммирования,

  .

Так как связи голономные, то вариации обобщенных координат   независимы. Следовательно, коэффициенты при вариациях обобщенных координат равны нулю.

То есть  .  (21.1)  

Так как    ,  то с учетом тождеств  Лагранжа имеем:   . (21.2)

 Подставляя  соотношение (21.2) в равенство (21.1), внося   под знаки производных и меняя порядок суммирования и дифференцирования, получаем 

    или  

.