50. Линейные колебания системы с одной степенью свободы. Свободные колебания без сопротивления среды.

51. Линейные колебания системы с одной степенью свободы. Свободные колебания c сопротивлением среды.(случай малого сопротивления)

Диф. уравнение движения груза на пружине в этом случае будет иметь вид

mẍ = P - c ( x + Δ) - µ ·V, или далее: m ẍ= - cх - µ ẋ После ввода стандартных обозначений с/m = k2 ; µ /m = 2n уравнение приводится

Это уравнение называется дифференциальным уравнением колебаний при наличии сопротивления среды . Величину n в этом уравнении принято называть коэффициентом затухания.

Составим характеристическое уравнение для решения рассматриваемого уравнения и определим его корни.

r² + 2nr + k² = 0; r1,2 = - n ± sqrt(n²-k²)

В случае, когда n < k (случай малого сопротивления среды) корни характеристического уравнения являются комплексными величинами.

r1 = - n + sqrt(n²-k²)= - n + i · sqrt(k²-n²) ; r2 = - n - i · sqrt(k²-n²)

Уравнение движения в этом случае имеет следующий вид

x =e^-nt ×(C1 cos(k1*t) + C2 sin(k1*t)) , где k1 = sqrt(k²-n²)

полученное уравнение можно преобразовать, получив иной, более удобный для анализа, вид решения. Для этого произвольные постоянные С1 и С2 выразим через две другие, определяемые также по начальным условиям, постоянные - а и α ( С1 = asina и C2 = acosa. )

Тогда решение уравнения примет вид x = а × e^-nt × sin(k1·t + a). Это уравнение принято называть уравнением затухающих колебаний.

Характер движения точки при затухающих колебаниях, как и при свободных, является периодическим. Но с постоянно убывающей амплитудой

. Период затухающих колебаний определяется :

Из сравнения периода затухающих колебаний с периодом свободных колебаний при тех же условиях, но при отсутствии сопротивления среды, можно сделать следующие выводы:

1. При малом сопротивлении среды период затухающих колебаний мало отличается от периода свободных колебаний.

2. С увеличением сопротивления среды период затухающих колебаний увеличивается и тем больше, чем отношение n / k ближе к единице.

Декрементом затухания принято называть отношение двух последовательных максимальных отклонений точки от положения статического равновесия. Это отношение определяется следующим выражением:

52. Линейные колебания системы с одной степенью свободы. Свободные колебания c сопротивлением среды.(случай большого сопротивления)

Диф. уравнение движения груза на пружине в этом случае будет иметь вид

mẍ = P - c ( x + Δ) - µ ·V, или далее: m ẍ= - cх - µ ẋ После ввода стандартных обозначений с/m = k2 ; µ /m = 2n уравнение приводится

Это уравнение называется дифференциальным уравнением колебаний при наличии сопротивления среды . Величину n в этом уравнении принято называть коэффициентом затухания.

Составим характеристическое уравнение для решения рассматриваемого уравнения и определим его корни.

r² + 2nr + k² = 0; r1,2 = - n ± sqrt(n²-k²)

Действительные корни получаются, когда n > k. Этот случай называют случаем большого сопротивления вязкой среды. Оба корня характеристического уравнения в этом случае отрицательны.

Решение диф. уравнения имеет вид: x = C1×e^r1t + C2×e^r2t.

Из анализа величин, входящих в рассматриваемое выражение, можно сделать следующий вывод. С увеличением времени каждое из слагаемых решения быстро стремится к нулю. Колебательный процесс отсутствует.

53. Линейные колебания системы с одной степенью свободы. Вынужденные колебания.

С сопротивлением среды:

Без сопротивления среды: