40.Кинетическая энергия голономных систем в обобщенных координатах.

если раскрыть скобки, то получаем

А функции T₂ , T₁ , T₀ являются так называемыми однородными функциями обобщенных

скоростей второй, первой и нулевой степени, соответственно.

41. Уравнение Лагранжа II рода при движении системы в потенциальном силовом поле

Если все силы системы потенциальны, то обобщенные силы системы выражаются через потенциальную энергию системы как Q_j = -дП / дq_j, а уравнения Лагранжа второго рода запишутся в виде

Так как потенциальная энергия не зависит от обобщенных скоростей, то . Введем в рассмотрение функцию

L = T - П

(4)

которую называют функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом. Тогда уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил запишутся так:

(5)

Если среди сил системы вместе с потенциальными присутствуют непотенциальные силы, например силы трения, то обобщенные силы системы складываются из обобщенных потенциальных сил Q_jⁿ = -дП / дq_j и обобщенных непотенциальных сил Q_j, а уравнения (3) принимают вид

(6)

При обобщении понятий функции, аналогичные функциям Лагранжа, описывают состояние не только механических систем, но и систем иной физической природы, например, непрерывной среды, гравитационного, электростатического или электромагнитного поля и т.д.

Таким образом, уравнения Лагранжа второго рода (3) и (5) являются наиболее универсальными, наиболее общими уравнениями движения материальных систем. Они используются не только в теоретической механике и в ее приложениях, но и в других науках, в частности в теоретической физике, электротехнике и теории управления.

4 3) Циклические координаты и циклические интегралы. Пример. Уравнения Рауса.

Уравнения Ра́уса — дифференциальные уравнения движения механической системы в переменных Рауса. Предложены Э. Раусом  в 1867 г. Для системы с s степенями свободы, находящейся под действием потенциальных сил, уравнения Рауса имеют вид

 (i=1,2,…,m; m<s),

 (k=m+1,…,s),

где   — Рауса функция,   — обобщённые координаты системы,   — обобщённые скорости,   — обобщённые импульсы, t — время. Фактически, первая часть уравнений Рауса имеют вид уравнений Лагранжа, и функция R в них играет роль функции Лагранжа, а вторая часть являются уравнениями Гамильтона, и R играет роль функции Гамильтона.( Функция Гамильтона, или Гамильтониан — функция, зависящая от обобщённых координат, импульсов и, возможно, времени, описывающая динамику механической системы в гамильтоновой формулировке классической механики. Или

Уравнения Рауса обычно используется в тех случаях, когда некоторые координаты системы являются циклическими. В этом случае производная от R по таким координатам равна нулю, что позволяет упростить вторую часть уравнений Рауса и понизить порядок решаемой системы уравнений.

44) Канонические переменные. Уравнения Гамильтона. Метод Гамильтона-Якоби.

Канонические переменные- независимые между собой переменные, входящие в т. н. канонич. ур-ния механики ( Гамильтона уравнения )и определяющие состояние механич. системы в любой момент времени. Число Кан. пер. равно 2s, где s - число степеней свободы системы. В качестве К. п. обычно выбирают обобщённые координаты q_i, и обобщённые импульсы p_i(i=1, 2, . . ., s). С помощью т. н. канонических преобразований можно перейти от q_i и р _i к другим К. п. Q_i(q_i, р_i, t), P_i(q, р _i, t), к-рые могут иметь др. физ. смысл.