3.4. Формальные и семиотические системы
Под формальной дедуктивной системой будем понимать совокупность четырех множеств:
Ф=(Т, Р, А, П),
где: Т - базовые элементы;
Р - синтаксические правила;
А - аксиомы;
П - правила вывода (семантические правила).
Из элементов Т строятся остальные производные элементы (сложные понятия). Правила Р определяются, как из элементов множества Т образуются производные элементы (сложные понятия). Множество правил конечно. Производные элементы, которые строятся из Т по правилам Р, называются правильно построенными совокупностями (ППС) или формулами (ППФ). К правилам Р предъявляется одно важное требование: они должны быть такими, чтобы существовала эффективная процедура, с помощью которой относительно произвольной совокупности (формулы) базовых элементов можно было бы сказать, является она правильно построенной или нет.
Из множества произвольных элементов формальной системы, которые построены в соответствии с синтаксическими правилами, произвольно выделяется некоторое подмножество, элементы которого называются аксиомами А.
Замечание: В формальных системах ничего не говорится об истинности или ложности ППС (ППФ), т.е. они ни чем не отличаются от иных элементов из множества ППС (ППФ).
Правила вывода П служат для того, чтобы с их помощью из множества аксиом можно было бы получать (выводить) другие ППС (ППФ), которые не входят в начале процесса в множества А. Правила П имеют следующую форму записи:
К Q (читается: Q выводится из K),
где К ППС (ППФ), которые либо принадлежат А, либо уже были получены из А с помощью правил вывода. Тогда Q есть совокупность ППС, которые выводятся на данном шаге процесса вывода.
Те ППС, которые получаются из А с помощью правил вывода, образуют множество выводимых совокупностей (МВС) или формул (МВФ) (см. рис.16). В предельном случае все три множества, показанные на этом рисунке, могут совпасть между собой.
Замечание: в силу свойств формальной системы Ф все множества ППС, МВС и А либо конечны, либо счетны.
На рис. 17 приведена иллюстрация формальной системы. Множество Р имеет вид:
квадрат есть ППС (см. рис.17,а);
если - ППС и ( любой квадрат, выделенный в , то к можно присоединить еще один квадрат по любой грани;
Других ППС нет.
Тогда на рис.17,б показано правильное построение. С помощью правил Р можно построить фигуру, показанную на рис.17,в, но нельзя построить фигуру, показанную на рис.17,г.
Для установления связей между формальными системами и семиотическими важное значение имеет процедура интерпретации формальной системы. Когда формальная система используется для описания некоторого объекта прикладной области и происходящих в ней процессов, элементы Т, Р, А и П приобретают некоторый определенный смысл, интерпретируются в рамках того прикладного объекта или процесса, который формализуется. При этом элементы множества Т приобретают некоторый физический смысл, позволяющий приписывать некоторый смысл и производным элементам, входящим в ППС. Пример, теория проектирования ТП школы Бруевича.
Но кроме внешней интерпретации, связанной со спецификой прикладной области, для формальных систем существует еще и внутренняя интерпретация, не зависящая от конкретного приложения системы.
