Множество ппс
Множество вс
Множество а
Рис.16 Иллюстрация отношений ППС, МВС и А.
а)
б) в) г)
Рис.14. Пример формальной системы
Введем множество Г={i}, элементы которого будем называть значениями. Для каждого элемента tT укажем некоторое подмножество Г, из которого он может принимать свои значения. Кроме Г зададим еще систему правил интерпретации В, роль которых заключается в приписывании значений ППС, если всем базовым элементам, входящим в ППС, приписаны некоторые определенные значения.
Элементы множества Г не имеют никакого фиксированного смысла, т.е. значениями могут быть буквы (например, И и Л), слова ("истина", "ложь", или "хорошо", "плохо"), цифры (0, 1). Заметим, что выводимость или невыводимость тех или иных формул в формальной системе никак не зависит от интерпретации. В этом смысле можно говорить о внешнем по отношению к формальной системе характере интерпретации.
Пример
Пусть Т = Т1 U Т2,
где Т1 = {a, b, c,...}, Т2 = {, &, v, , ~, (,)}.
Синтаксические правила Р имеют вид:
если принадлежит Т1, то () есть ППФ;
если есть ППФ, то () также ППФ;
если и являются ППФ, то (&), (v), (), (~) также являются ППФ;
других ППФ нет.
Введем множество Г={ И,Л }
Систему правил интерпретации В зададим с помощью таблицы истинности. Используя правила интерпретации В, можно найти значение любой ППФ.
В качестве аксиом А выберем:
((а v а)а);
((а v в) (в v а));
(а (a v a));
((а в) ((с v а) (с v в))).
Введем два правила вывода П:
Правило 1 - подстановка: Если Q - выведенная формула, то, подставляя вместо каждого вхождения некоторого элементарного элемента в Q произвольную формулу, входящую в множество ППФ, вновь получим выводимую формулу.”
Правило 2 - заключения (или "модус поненс"):“ Если Q и Q L - выводимые формулы, то формула L также выводима.”
Интерпретация аксиом:
1) для первой аксиомы:
((ИvИ)И) - истина;
((ЛvЛ)Л) - истина.
2) для второй аксиомы:
((ИvИ) (ИvИ)) - истина;
((ИvЛ) (ЛvИ)) - истина;
((ЛvИ) (ИvЛ)) - истина;
((ЛvЛ) (ЛvЛ)) - истина.
3) для третьей аксиомы:
(И (ИvИ)) - истина;
(Л (ЛvЛ)) - истина.
4) для четвертой аксиомы:
((И И) ((ИvИ) (ИvИ))) - истина;
((И И) ((ЛvИ) (ЛvИ))) - истина;
((И Л) ((ИvИ) (ИvЛ))) - истина;
((И Л) ((ЛvИ) (ЛvЛ))) - истина;
((Л И) ((ИvЛ) (ИvЛ))) - истина;
((Л И) ((ЛvЛ) (ЛvИ))) - истина;
((Л Л) ((ИvЛ) (ИvЛ))) - истина;
((Л Л) ((ЛvЛ) (ЛvЛ))) - истина.
Этот пример в математической логике называется исчислением высказываний. Это замечательное свойство, так как правило вывода применимые к тождественно-истинным формулам позволяют получить тождественно-истинные формулы. Другими словами МВФ для исчисления высказываний - это истинные формулы.
Из рассмотренного примера вытекают следующие свойства формальных систем:
Эти системы представляют собой автономные генераторы выводных формул. При заданных аксиомах и правилах вывода они автономно генерируют множество выводимых совокупностей (формул). Эта генерация происходит нецеленаправленно.
Важной особенностью формальных систем является независимость генерации МВС от порядка получения выведенных совокупностей. В каком бы порядке они не получались, множество выводимых формул не будет меняться.
В процессе вывода множество аксиом и правил вывода остаётся неизменным.
На выбор аксиом оказывают влияние синтаксические правила, так как аксиомы должны являться ППС.
Интерпретация формальной системы является неизменной при фиксированных правилах В.
Указанные свойства формальных систем дедуктивного типа соответствуют возможностям F-систем. Для систем управления более сложного типа выполняются не все эти свойства. Например, для F-A-систем в процессе функционирования может меняться вид правил вывода. В семиотических системах интерпретатор при формировании модели знаний подобно адаптатору может менять правила вывода системы F, но, кроме того, он производит на некоторых шагах работы семиотической системы смену системы аксиом.
При решении технологических задач (особенно при проектировании ТП) используются элементы, обладающие одновременно тремя свойствами: синтаксисом, семантикой и прагматикой (отношения технолога или рабочего, воспринимающих и использующих знаковую систему, к самой знаковой системе), отношения между которыми неоднозначны. Таким образом, семиотическая система есть некоторая пара
M = (Z , R),
где: Z - множество знаков;
R - множество отношений между ними.
Особенностью знаков является то, что их синтаксис, семантика и прагматика являются договорными, определяются договорной системой интерпретации. Подобная договоренность, характерная для всех трёх составляющих знака, делает семиотические системы весьма гибкими и пригодными для разнообразного использования. Следует отметить, что "договорённость" по отношению к ТПП конкретного предприятия - это конкретные приёмы изготовления деталей и совокупность правил выбора этих приёмов при решении технологических задач. На каком-то этапе эта договорённость становится во многом определяющей (ограничивающей многообразие) решения задач. Ограничения заключаются не только в том, чтобы отказаться от каких-то решений, но и ужесточает правила решения технологических задач. Поэтому то, что относится к этой "договорённости", должно строиться как изменяемая часть системы.
Для многих технических и естественных систем (например, язык) удаётся описать формальную систему, лежащую в основе механизма порождения синтаксически правильных фраз. Семантический уровень формализуется значительно сложнее. Связано это с тем, что семантически правильная фраза отличается от семантически неправильной тем, что ей можно приписать некоторый смысл, другими словами, интерпретировать в некоторой модели знаний. Для каждого интерпретируемого элемента необходимо задать множество значений Г. В технологии элементы многозначны. Поэтому правила интерпретации устроены так, что значения, приписанные элементам в построенной системе, определяются лишь на основе анализа всей построенной системы. Выбор тех или иных значений определяется уже выбранными ранее значениями для других элементов.
Прагматику в технологии формализуют введением ГОСТов на термины и определения.