3. Пример расчета 3.1.

Определить внутренние усилия и построить эпюры в арке, расчетная схема которой представлена на рис. 3.2.

Определение опорных реакций. Под действием заданной плоской системы сил

арка находится в равновесии. Нагрузки, приложенные к арке, вызывают реакции опор R_А и R_В, каждую из которых всегда можно представить вертикальной V_A (или V_B ) и горизонтальной H_A (или H_B ) составляющими.

F₁ = 5 кН

F₂ = 9 кН

F₃ = 6 кН

F₄ = 10 кН

l = 24 м

f = 8 м

α₁ = 3 м

α₂ = 9 м

α₃ = 14 м

α₄ = 18 м

Рис. 3.2. Расчетная схема арки

Арка является распорной конструкцией, поэтому при действии на нее любой нагрузки в опорах возникают горизонтальные состав­ляющие опорных реакций, которые называются распором.

При действии на арку только вертикальной нагрузки горизонталь­ные составляющие обязательно должны быть равны между собой Н_А = Н_В.

Д ля определения опорных реакций отбросим связи, наложенные на арку, а их действия заменим силами (реакциями связей) (рис.3.3.).

Рис.3.3. Расчетная схема арки

Так как арка находится в равновесии, то система сил, дейст­вующих на арку (внешних и реакций связей), является уравновешенной. Из условия равновесия плоской системы сил определим реак­ции опор. Вертикальные составляющие опорных реакций можно опре­делить из условий равенства нулю суммы моментов всех сил отно­сительно центров правого и левого опорных шарниров т.е.:

1. ∑М_В = 0

2. ∑М_А = 0,

где ∑М_В – сумма моментов всех сил относительно точки В;

∑М_А – сумма моментов всех сил относительно точки А.

1. V_A · l – F₁ · в₁ – F₂ · в₂ – F₃ · в₃ – F₄ · в₄ = 0

2. V_В · l – F₁ · α₁ – F₂ · а₂ – F₃ · а₃ – F₄ · а₄ = 0

Из первого уравнения определим величину вертикальной реакции опоры А:

V_А = 15 кН

Из второго уравнения определим величину вертикальной реакции опоры В:

V_В = 15 кН

После вычисления вертикальных составляющих опорных реакций следует убедиться в правильности их определения, т.к. ошибка в определении их приведет к ошибкам и в определении горизонталь­ных составляющих опорных реакций, и в вычислении внутренних усилий N_к, Q_к и М_к во всех сечениях арки.

Для правильности проверки полученных результатов рекомендует­ся составить уравнение равновесия, которое не использовалось при определении вертикальных составляющих опорных реакций. Так, например, если вертикальные опорные реакции определены вер­но, то сумма проекций всех сил на вертикальную ось должна быть тождественно равна нулю, т.е.:

∑Fy = 0

V_А + V_В – F₁ – F₂ – F₃ – F₄ = 15 + 15 – 5 – 9 – 6 – 10 = 0.

Результат проверки свидетельствует о том, что вертикальные составляющие опорных реакций определены верно.

Если рассматривать арку в целом, то действующих уравнений статики недостаточно для определения горизонтальных составляющих опорных реакции, т.е.:

∑Fx = 0 Н_А – Н_В = 0 Н_А = Н_В.

Но если рассмотреть каждую часть в отдельности, то будем иметь шесть уравнений равновесия.

Из курса теоретической механики известно, что если вся система находится в равновесии, то любая ее часть должна находиться в равновесии. Рассечем арку по замковому шарниру «С» и рассмотрим равновесие одной части арки. Целесообразнее рассматривать равновесие той части арки, на которую действует меньше сил.

В нашем случае безразлично, какую часть арки рассматри­вать, так как на ту и другую часть действуют по две сосредоточен­ных внешних силы и по две составляющих опорных реакций.

Рис. 3.4. Часть арки АС

Рассматриваем равновесие части арки АС. Отбрасывая правую полуарку ВС, дейст­вие ее на левую полуарку заменяем усилиями V_c и Н_с, возникающими в шарнире «С» (рис. 3.4.). Составляем уравнение момен­тов всех сил, действующих на левую полуарку относи­тельно точки «С» и приравня­ем его нулю, т.е.:

Н_А = Н_В = Н = 18 кН

Чтобы убедиться в правильности определения горизонтальных составляющих опорных реакций, нужно рассмотреть равновесие, напри­мер, правой (относительно шарнира С) части арки. Из уравнения равновесия получаем:

–15 · 12 + 18 · 6 + 6(12 – 10) + 10(12 – 6) = 0

Вывод: горизонтальные составляющие опорных реакций определены верно.

Определение внутренних усилий М, Q и N и построение эпюр

Для построения эпюр внутренних усилий в арке необходимо вычислить значения усилий в характерных усилиях арки, для примера характерными сечениями являются опорные и промежуточные шарниры арки и точки приложения сосредоточенных сил.

Точность построения эпюр усилий и точность расчёта зависит от количества сечений арки, в которых определяются уси­лия. Чем больше сечений, тем точнее расчет. Если характерных се­чений недостаточно, то нужно определить дополнительные сечения. Для этого целесообразно весь пролет арки разделить на равные части. Из полученных точек деления пролета восстановить перпендикуляры до пересечения с осью арки. Полученные точки на оси арки и будут являться дополнительными точками (сечениями). Они могут совпадать с характерными сечениями.

Рис. 3.5. Положение сечений арки

В нашем примере весь пролет арки разделим на части, равные 3 м, полученные сечения арки обозначим цифрами 1, 2, 3,.. и т.д. Положение сечений арки определяется координатами Х и У относительно начала осей координат (рис. 3.5.).

Координаты «X» всех сечений арки известны, они получены в результате деления горизонтальной проекции оси арки. В то время, как координаты «У» всех сечений неизвестны, их нужно определить. Так как ось арки очерчена по квадратной параболе, а уравнение квадратной параболы:

(8)

- тo, подставляя значения «Х» для каждого сечения в данное уравнение, можно определить значения «У» для каждого сечения. Например, для произвольного сечения «К»:

(9)

Построение эпюр следует начинать с эпюры изгибающих моментов М:

• Изгибающий момент в сечении рамы вычисляется как алгебраическая сумма моментов относительно центра тяжести сечения всех сил, приложенных к отсеченной части. Ординаты эпюры изгибающих моментов откладываются со стороны растянутого волокна.

• Поперечная сила в любом сечении арки равна сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от сечения, на нормаль к оси арки в рассматриваемом сечении.

• Продольная сила в любом сечении арки равна сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от сечения, на касательную к оси арки в этом сечении

Правила знаков при определении усилий такие же, что и при определении знаков усилий в балках, т.е.:

• изгибающий момент считается положительным, если он растягивает нижние волокна арки, т.е. уменьшает ее кривизну;

• поперечная сила считается положительной, если она стремится повернуть стержень по ходу часовой стрелки;

• продольная сила считается, положительной, если она направлена от сечения, т.е. стремится растянуть стержень.

Определим величину изгибающего момента в сечении I (рис. 3.6.).

Х₁ = 3 м

Р ис. 3.6. Определение величины изгибающего момента в сечении I

Изгибающий момент в сечении I:

М₁ = V_А· Х₁ – Н_АУ₁ = 15 · 3 – 18 · 2,625 = –2,25 кН·м

Учитывая, что V_АХ₁ = М_1бал выражение для М₁ можно записать в виде М₁ = М_1бал – Н ·У, где М_1бал – изгибающий момент в сечении I простой балки пролётом l.

Последнее выражение удобно при вычислении значений изгибающих моментов в табличной форме.

Для удобства вычисления продольной и поперечной силы приведем все внешние силы, действующие по одну сторону от сечения к центру в точке I (рис. 3.7. б, в).

Рассматривая схему «б» рисунка 3.7, определяем значение попереч­ной силы справа от сечения I, проектируя все силы на ось ОУ:

Учитывая, что запишем ,

где Q^бал.пр. – поперечная сила в сечении I простой балки про­летом l.

φ₁ – угол между касатель­ной к оси арки в данном сече­нии и

горизонталью.

Рис. 3.7. Определение поперечной и продольной силы в сечении 1

а) схема сечения; б) схема определения Q; в) схема определения N

Для определения поперечной силы слева от сечения Q₁^лев рассмотрим схему в рисунка 3.7.:

или

Для определения продольной силы N₁ спроектируем все силы, действующие на отсеченную часть арки, на ось ОХ, совпадающую с касательной в данном сечении.

Рассматривая схемы б и в рисунка 3.7., определим N₁^пр и N₁^лев:

или

или .

Численные значения sinφ_к и cosφ_к можно определить, используя формулы тригонометрических функций:

где .

Если ось арки задана в виде окружности, то значения У_к, sinφ_к и cosφ_к вычисляются согласно примечаниям.

Правильность вычисления значений sinφ_к и cosφ_к можно проверить по известному выражению:

sin² φ_к + cos² φ_к = 1.

Для сечения I в нашем примере:

Проверка:

Вывод: значения sinφ₁ и cosφ₁ определены верно.

Подставляя полученные значения sinφ₁ и cosφ₁ в выражения для определения Q и N в сечении I получим:

Q₁^лев = 15 · 0,8 – 18 · 0,6 = 1,2 кН

Q₁^прав = 15 · 0,8 – 5 · 0,8 – 18 · 0,6 = –2,8 кН

N₁^лев = –15 · 0,6 – 18 · 0,8 = –23,4 кН

N₁^прав = –15 · 0,6 + 5 · 0,6 – 18 · 0,8 = 20,4 кН

Аналогично определяются усилия во всех сечениях арки.

Сечение 2.

М₂ = 15 · 6 – 18 · 4,5 – 5 · 3 = –6 кНм

Q₂ = 15 · 0,89 – 18 · 0,446 – 5 · 0,89 = 0,87 кН

N₂ = –15 · 0,446 + 5 · 0,446 – 18 · 0,89 = –20,48 кН

Сечение 3.

М₃ = 15 · 9 – 18 · 5,625 – 5 · 6 = 3,75 кНм

Q₃^лев = 15 · 0,97 – 5 · 0,97 – 18 · 0,24 = 5,38 кН

Q₃^прав = 15 · 0,97 – 5 · 0,97 – 9 · 0,97 – 18 · 0,24 = –3,35 кН

N₃^лев = –15 · 0,24 + 5 · 0,24 – 18 · 0,97 = –19,86 кН

N₃^прав = 17,7 кН

Сечение С.

У_с = f = 6 м

tgφ_c = 0

sinφ_c = 0

cosφ_c = 1

M_c = 0

Q_c = V_А – F₁ – F₂ = 15 – 5 – 9 = 1

Сечение 4.

М₄ = V_в · 10 - Н_в · У₁ – F₄ · 4 = 15 · 10 – 18 · 5,83 – 10 · 4 = 5,1 кН

Q₄^лев = –V_в · cosφ₄ + H_в ·sinφ₄ + F₄ · cos φ₄ + F₃ · cos φ₄ =

= –15 · 0,99 + 18 · 0,17 + 10 · 0,99 + 6 · 0,99 = 4,05 кН

Q₄^прав = –V_в · cosφ₄ + H_в ·sinφ₄ + F₄ · cos φ₄ + =

= –15 · 0,99 – 18 · 0,17 + 10 · 0,99 + 6 · 0,99 = –1,99 кН

N₄^лев = –V_в · sinφ₄ + H_в ·соsφ₄ + F₄ · sinφ₄ + F₃ · sinφ₄ =

= –15 · 0,17 – 18 · 0,99 + 10 · 0,17 + 6 · 0,17 = –17,68 кН

N₄^прав = –15 · 0,17 – 18 · 0,99 + 10 · 0,17 = –18,67 кН

Сечение 5.

М₅ = V_в ·9 – Н_в · У₅ – F₄ ·3 = 15 · 10 – 18 · 5,8825 – 10 · 3 = 3,75 кН

Q₅ = –15 · 0,97 – 18 · 0,24 + 10 · 0,97 = –0,53 кН

N₅ = –15 · 0,24 – 18 · 0,97 + 10 · 0,24 = –18,7 кН

Сечение 6.

М₆ = V_в · 6 – Н_в · У_в = 15 · 6 – 18 · 4,5 = 9,0 кН

Q₆^лев = –V_в · cosφ₆ + H_в ·sinφ₆ + F₄ · cos φ₆ =

= –15 · 0,89 + 18 · 0,446 + 10 · 0,89 = 3,58 кН

Q₆^прав = –V_в · cosφ₆ + H_в ·sinφ₆ = 15 · 0,89 – 18 · 0,446 = –5,32 кН

N₆^лев = –V_в · sinφ₆ + H_в ·соsφ₆ + F₄ · sinφ₄ =

= –15 · 0,446 – 18 · 0,89 + 10 · 0,446 = –17,68 кН

N₄^прав = –15 · 0,17 – 18 · 0,99 + 10 · 0,17 = –18,25 кН

Сечение 7.

У₇ = У₁ = 2,625 м

tgφ₇ = –tgφ₁ = –0,75

sinφ₇ = –sinφ₁ = –0,6

cosφ₇ = cosφ₁ = 0,8

М₇ = V_в ·3 – Н_в · У₇ = 15 · 3 – 18 · 2,625 = –2,25 кН

Q₇ = –V_в · cos φ₇ + H_в · sin φ₇ = –15 · 0,8 + 18 · 0,6 = –1,2 кН

N₇ = –V_в · sinφ₇ – Н_в ·cos φ₇ = –15 · 0,8 – 18 · 0,8 = –23,4 кН

Сечение 8.

У₈ = 0

tgφ₈ = –tgφ_А = 1

sinφ₈ = –sinφ_А = –0,71

cosφ₈ = cosφ_А = 0,71

М₈ = 0

Q₈ = –V_в · cos φ₈ + H_в · sin φ₈ = –15 · 0,71 + 18 · 0,71 = 2,13 кН

N₈ = –V_в · sinφ₈ – Н_в ·cos φ₈ = –15 · 0,71 – 18 · 0,71 = –34,08 кН

Целесообразно результаты вычислений свести в таблицу (см. таблицу 1).

По полученным данным строим эпюры усилий в двух вариантах:

1. На самой оси арки;

2. На горизонтальной базисной линии.

П римечание: При определении усилий в сечениях 4, 5, 6, 7 и 8 значения sinφ_к берутся без учета знака «минус», если учитывать внешние си­лы, действующие справа от рассматриваемых сечений. В этом случае угол φ_к становится больше 90º (рис.3.8.).

Рис.3.8. Определение значения sinφ_к.

ПРИМЕЧАНИЕ:

Если очертание оси арки задано в виде окружности, то необходи­мые дополнительные данные следует определять следующим образом:

Уравнение окружности:

(10)

откуда:

(11)

(12)

(13)

(14)

Таблица 1

	Хк М	Ук М	tgφк	sinφк	cosφк	Мк кНм	Qк кН	Nк кН
1	2	3	4	5	6	7	8	9
А	0	0	1,0	0,71	0,71	0	-2,13	-23,43
1лев	3	2,625	0,75	0,6	0,8	-2,25	+1,2	-23,4
1прав	3	2,625	0,75	0,6	0,8	-2,25	-2,8	-20,4
2	6	4,5	0,5	0,446	0,89	-6	0,87	-20,48
3лев	9	5,625	0,25	0,24	0,97	3,75	5,38	-19,86
3прав	9	5,625	0,25	0,24	0,97	3,75	-3,25	-17,7
С	12	6,0	0	0	1,0	0	1	-18
4лев	14	5,83	-0,17	-0,17	0,99	5,1	4,05	-17,68
4прав	14	5,83	-0,17	-0,17	0,99	5,1	-1,99	-18,67
5	15	5,625	-0,25	-0,24	0,97	3,75	-0,53	-18,7
6лев	18	4,5	-0,5	-0,446	0,89	9,00	3,58	-18,25
6прав	18	4,5	-0,5	-0,446	0,89	9,00	-5,32	-22,71
7	21	2,625	-0,75	-0,6	0,8	-2,25	-1,2	-23,4
В	24	0	-1,0	-0,71	0,71	0	2,13	-34,08

По полученным данным строим эпюры усилий в 2-х вариантах:

1. На горизонтальной базис­ной линии (рис.3.9.).

2. На самой оси арки (рис. 3.10.).

Р ис. 3.9. «Спрямленные» эпюры (I вариант)

Рис. 3.10. Эпюры на оси арки (II вариант)