50.Ортогональні перетворення.

ЛП y=Qx наз ортогональним, якщо мат-ця Q є ортогональною. Властивість:для будь-яких двох векторів їх скаляр добуток =скал добутку їх образів при цьому перетворенню.

Дійсно. Нехай u,v є E_n, тоді (Qu)^TQv=u^TQ^TQv= u^Tv. Звідси випливає, що при ортом перет-ні довжини векторів та кути між ними не змінюються, бо |Qu|=|u| i .

Приклади перетворень ::

1. Нехай на площині х₁Ох₂ кожний радіус-вектор х замінюється рад-век у, який одержаний у результаті обертання х на кут φ проти годинникової стрілки.

х₁

е^/₁

Визначимо матрицю перетворення обертання в натурал базисі, який скл з ортонормованих векторів е₁=(1,0)^Т; е₂=(0,1)^Т. У результаті вказаного перет-ня басисний в-р е₁ замінюється вектором е₁¹ =cosφ е₁ + sinφ е_2,, а базисн вектор е₂ -- е₂¹ =-sinφ е₂ + cosφ_2.. Тоді матриця перетворення обернення має такий вигляд: T=( cosφ -sinφ )

sinφ cosφ.

Перетворення обертання в R_n визначається мат-цею обертання T_ij(φ), яка відрізняється від одиничної матриці лише чотирма елементами, розміщених на перетині рядків і стовпців з номерами i та j. (i < j), при чому два діагонал ел-ти = sinφ та – sinφ.

Перетв-ня відбиття відповідає м-ця відбиття H=E-2uu^T, де u-нормован вектор (|u|=1). Зауважимо, що м-ця Н є симетричною, бо H^Т=(E-2uu^T ) ^Т = E^Т-2u^Т (u^T) ^Т = E-2uu^T = Н. Покажемо, що м-ця Н є ортогональною. Дійсно,оскільки u^Tu=|u|²=1,то Н^ТН=(E-2uu^T ) ² = Е-4 u u^T + 4 u u^T u u^T = Е.

Множина всіх векторів, ортогональних до множини , називається ортогональним доповненням множини і позначається через .

Зауважимо, що є підпростором евклідова простору незалежно від того, чи є підпростором.

Теорема. Якщо - підпростір евклідова простору , то та .

Ядром -матриці називається множина векторів , для яких .

Образом -матриці називається множина векторів , вигляду , де - деякий вектор простору .

Множини та є підпросторами вимірності і відповідно, тобто . Вимірність ядра матриці називається дефектом матриці і позначається через , отже, .

Теорема. Для будь-якої матриці має місце рівність . Із сформульованої теореми випливає, що підпростір , утворений розв’язками системи , є ортогональним доповненням до підпростору, натягнутому на рядки матриці .

51 Означення квадратичних форм(кф). Основні ознаки додатної визначеності.

КФ від змінних х₁,х₂,…х_n назив. многочлен відносно цих змінних, який вміщує тільки їх 2 степені f(х₁,х₂,…х_n)=∑ⁿ_i=1∑ⁿ_j=1 a_ijx_ix_j=x^TAx, де х=(х₁,х₂,…х_n)^т, А=а_іj, і,j=1, n – матричні коефіцієнти КФ, при чому А – симетрична матриця (а_іj= а_jі).

КФ(матриця) назив. додатно(невід’ємно, від’ємно, недодатньо) визначеною, якщо для будь-якого х≠0 виконується х^тАх>0 (х^тАх≥0, х^тАх<0, х^тАх≤0). Очевидно, що від’эмно (недодат.) визначені КФ отримується з додатньо (невід’ємно) визначених зміною знаку.

Теорема (осн.ознаки додат.визначеності КФ або матриці)

Для того, щоб симетрична матриця була дод.визначеною, необхідно і достатньо, щоб виконувалась одна з умов:

1. всі власні значення А – додатні(λ_і>0);

2. всі провідні мінори матриці А додатні (∆_і>0);

3. всі провідні елементи (без переставлення рядків) А –додатні(d_і>0);

4. існує не вироджена матриця W, така що А= W^т W.

5. x^TAx>0

6. Зауважимо, що ознаки невід’ємної визначеності матриці відрізняються від сформульованих заміною знаків додатності на невід’ємність та зняттям обмежень на переставлення рядків і невиродженість матриці .

7. Ознаку від’ємної визначеності матриці дає критерій Сільвестра: для того, щоб симетрична матриця порядку буда від’ємно визначеною, необхідно і достатньо, щоб знаки провідних мінорів чергувалися, починаючи з від’ємного.

8. Матрицю , про яку йде мова в теоремі, можна знайти одним із способів:

9. 1) , де - ортогональна матриця, складена з ортонормованих власних векторів матриці , що відповідають власним значенням :

10. 2) ;

11. 3) , де - множник -розкладу матриці , - її провідні елементи ( відповідно нижня і верхня трикутні матриці з одиницями на головній діагоналі, ).

12. Представлення , де , називається розкладом Холецького для додатно визначеної матриці .

13. Рангом квадратичної форми називається ранг її матриці.