54) Операції над множинами.

Перерізом множин А і В наз. мн-на, що скл із спільних ел множин А і В

Для ілюстрації операції викор. круги Ейлера або діагр Вєна.

Об’єднана множина А і В, наз. множина яка містить тільки ті елементи, які належать А або належать В

Різницею множини А і В наз. множина, яка містить тільки ті елементи, що належать А і не належать В .

; -симетрична різниця

Доповненням множ. А наз. множ. , яка містить тільки ті елементи, що не належать А.

Властивості операцій над множинами:

1) - ця властивість означає, що відносно операц. Перерізу та об’єднання є замкненою.-комутативніс

2) -асоціативність3) - дистрибутивн.

4) 5)

6) ) 8)

7)

9) Правило деМоргана

Порядкованою парою елементів а є А, в є В, наз. послідовність (а, в), якщо чітко вказано номер компоненти.

Декартовим добутком множ. А і В наз. множина всіх впорядкованих пар елементів множин А і В.

55) Означення функції. Види відображень.

Відображенням множини Х в множину У (ф-цією, визначеною на Х із значеннями в У) наз відповідність яка кожному елем х множ. Х ставить у відповід. єдиний елемент у, що належить множині У.

Позначимо ф-ї або відображення:

1) 2) 3)

В цьому випадку кажуть, що ф-я задана явно, тобто рівність визначає відповідність між елементами множин. Формалізований за допомогою матр. формули. 4)

Елементи -незалежна зміна –аргумент.

х -прообраз елемен. упри відображенні f.

Елемент у = f(х)=У наз. –знач. функції- залежна зміна.

у – образ елемента х при відображ. f.

Х-область визначення функції

У_f-область значень функції

-обл знач ф-ції. Отже, Y_f c Y

Розглянемо такі підмножини

Образом множини D при відображенні f наз. множина f(D)

Зауваження: f(x) = Y_f – образ мн-ни Х при відображенні f є мн-на Y_{f .}

Прообразом множ. Е при відображенні f наз. множина Аналогічно познач то тоді

Відображення наз. Ін”єктивним, сюр”активним, бієктивним.

Ін”єктивним –якщо різним значенням аргумента відповідають різні значення ф-ції, або якщо для р-ня f(х)=у має не більше ніж один корінь

Відображення назив. сюр”єктивним якщо обл з-нь відображень збігається з або якщо р-ня f(x)y=y має хоч 1 розв-к.

Відображення наз. бієктивним відображенням х на у якщо воно ін”єктивне і сур”єктивне одночасно або якщо для будь якого у є У р-ня f(х)=У має єдиний розв’язок.

Графіком відображ.

56. Складена, обернена функція.

Нехай задана ф-ція f: X → Yта g: Y→ Z. Ф-ція F: X → Y та кожному значенню х є Х ставить у відповідність z = F (х) = g (f (х)) назив суперпозицією (композицією, складеною ф-цією) функцій g i f.

Позначення: 1) F(x) = g(f(x))

2) F(x) = (g o f)(x)

Нехай відображення f: X → Y– бієкція. Тоді можна ввести обернену ф. f^-1 : Y → X і задавати таким способом: у є У !х є Х таке, що х = f^-1 (у).

f і f^-1 – взаємно обернені.

f(f^-1 (у)) = у у є У. f(f^-1 (х)) = х х є Х.

Зауваження: 1) якщо ін’єкція, то будуть f^-1 : У_f →Х

2)Якщо сюр*акція, то обернена функція є багатозначно.