3.Свойства предела функции в точке
Для функций, имеющих предел в точке, справедливы теоремы, аналогичные теоремам о пределах функций при
Если функция имеет предел при , то этот предел единственен.
Для того, чтобы функция имела предел, равный , при ,необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:
,
где
при
.Если при функции и имеют пределы, то при существует также предел их суммы и произведения, при этом
;
;
если, кроме того,
,
то существует предел частного
и
;
если же
и существует
,
то существует и
.
Следствие.
.
4.Вычисление пределов
Рассмотрим несколько упражнений, показывающих применение теорем к вычислению пределов.
.
.
.
При
предел знаменателя равен нулю, поэтому
применить теорему о пределе частного
нельзя. Преобразуем дробь:
;
.
.
.
5.Замечательные пределы
Докажем, что
(первый замечательный предел).
Рассмотрим
единичную окружность. Предположим, что
удовлетворяет неравенству
и обозначает радианную меру некоторого
угла NOM. Рассмотрим треугольник
OMN, OPN и сектор MON
(рис. 30).
;
(*)
;
;
.
Подставив
найденные выражения в (*), имеем:
,
поскольку
при
,
то
;
.
(**)
,
следовательно,
.
Замена
на
не нарушает неравенство (**). Поэтому оно
справедливо и для
.
Значит,
.
Рассмотрим несколько упражнений:
.
,
где
и при
также и
.
.
,
где
и если
,
то
.
Рассмотрим
второй замечательный предел и некоторые
его обобщения: известно, что
.
Если
,
то
,
аналогично при
:
.
Вообще,
.
Пусть
,
тогда если
,
то
и мы получим:
.
Итак,
- второй замечательный предел. Рассмотрим
некоторые следствия.
Если в равенстве
прологарифмировать левую и правую
части, то получим
.
Таким образом,
- третий замечательный предел.
В равенстве
сделаем замену:
,
тогда если
,
то
.
Кроме того,
и
;
тогда получим
или
- четвертый замечательный предел.
Итак, замечательные пределы:
|
|
|
|
§12.Непрерывность функции
1.Основные определения
Наглядные
представления о непрерывности функции
есть у всех, кто строил графики функций:
если можно нарисовать график функции,
заданной на некотором множестве, не
отрывая карандаша от бумаги, то на этом
множестве данная функция непрерывна.
Или другими словами: если величины
и
связаны друг с другом так, что малое
изменение
влечет за собой малое изменение
,
говорят, что
непрерывно зависит от
,
то есть функция
непрерывна.
Введем понятие
приращение аргумента и приращения
функции:
– назовем приращением аргумента;
– назовем приращением функции.
Функцию называют непрерывной в точке , если:
1) она определена в точке ;
2) для любого
сколь угодно малого положительного
числа
найдется число
такое, что из неравенства
вытекает неравенство
(при этом
).
Краткая запись:
(
непрерывна в точке
)
(
).
Воспользуемся определением предела функции в точке; получим:
Функцию называют непрерывной в точке , если предел функции в этой точке совпадает со значением функции в этой точке.
(
непрерывна в точке
)
(
).
Из Определение 71.
следует замечательное свойство
непрерывной функции:
,
то есть коммутативность двух операций:
вычисление значения функции и вычисление
предела.
Если обратиться к необходимому и достаточному условию существования предела функции в точке, получим:
Функцию называют непрерывной в точке , если:
она определена в точке ;
в этой точке существуют оба односторонних предела
и
;они равны между собой: = ;
они равны значению функции в этой точке
.
Воспользуемся определением 1 и понятиями приращения аргумента и приращения функции, получим:
Функция , определенная в точке , называется непрерывной в этой точке, если сколь угодно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
(
непрерывна в точке
)
(
,
где
,
).
Все четыре определения непрерывности функции в точке равносильны между собой, но используются в различных ситуациях: Определение 70., Определение 71., и Определение 73. для доказательства непрерывности функции в точке, а Определение 72. – для классификации точек разрыва функций.
Докажите, что функция
непрерывна при
.
воспользуемся Определение 71. и рассмотрим
,
что совпадает с
значит,
непрерывна при
.
Докажите, что линейная функция
непрерывна при всех действительных
.
пусть
– произвольное действительно число,
рассмотрим приращение аргумента
и соответствующее ему приращение
функции:
=
=
=
;
тогда
=
=
,
значит, в силу Определение 73. функция
непрерывна при всех действительных
.
Функция называется непрерывной на некотором множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Мы уже доказали,
что линейная функция
непрерывна при действительных
,
значит, для нее
.