2.Арифметические операции над непрерывными функциями. Композиция непрерывных функций
Пусть даны две
функции
и
,
непрерывные в точке
.
Рассмотрим их сумму, произведение и
частное. Справедливы следующие теоремы:
Сумма двух функций, непрерывных в данной точке, непрерывна в этой же точке.
Произведение двух функций, непрерывных в данной точке, непрерывно в этой же точке.
Частное двух функций, непрерывных в данной точке, непрерывно в данной точке, если значение знаменателя в данной точке не равно нулю.
Доказательство этих теорем следует из Определение 71. и соответствующих теорем о пределе суммы, произведения и частного в данной точке.
Докажите, что любая целая рациональная функция (многочлен)
непрерывна при всех действительных
.
из Пример 78. следует, что функция
(константа) и
– непрерывны для всех действительных
,
а из ►Теорема 24., ►Теорема 25. следует,
что многочлен от переменной
непрерывен при
.
Докажите, что рациональная функция
непрерывна при всех
,
при которых
.
из Пример 79. следует, что
и
непрерывны при всех
,
а из ►Теорема 26. следует, что частное
и
непрерывно при всех
,
при которых
.
Рассмотрим композицию непрерывных функций.
Пусть функция
непрерывна при
,
а функция
непрерывна при
,
причем
.
Тогда сложная функция
непрерывна в точке
.
зададим
.
Так как функция
непрерывна в точке
,
то найдется
такое, что из неравенства
следует
,
но функция
непрерывна в точке
,
значит найдется
такое, что из неравенства
вытекает неравенство
;
поскольку
,
,
то при
имеем
,
а значит,
.
Это и значит, что функция непрерывна в точке .
Замечание. ►Теорема 27. обобщается на любое количество композиций непрерывных функций.
Докажите, что функция
непрерывна при всех действительных
.
пусть произвольное действительное число, рассмотрим и
;
преобразуем
,
итак,
,
а это означает (в силу Определение 70.),
что
непрерывна при всех действительных
.
Конечно, к тому
же выводу мы пришли бы, используя Определение 73..
Действительно, неравенство
означает, что
;
значит,
и функция
– непрерывна при всех действительных
.
Докажите, что функция
непрерывна при всех действительных
,
удовлетворяющих условию
.
пусть произвольное положительное действительное число , рассмотрим
,
значит,
,
то есть функция
непрерывна при всех положительных
действительных
.
При
функция непрерывна справа:
.
Докажите, что функция
непрерывна при всех действительных
.
непрерывными являются функции
;
;
.
Кроме того,
при всех
;
значит,
непрерывна при всех действительных
,
как композиция непрерывных функций.
3.Свойства функций, непрерывных на отрезке
О
бсуждая
наглядное представление о непрерывной
функции, мы говорили о ее графике, как
о едином куске. Рассмотрим рис. 31.
Если мы возьмем
любую точку
на оси ординат, лежащую между точками
с ординатами
и
,
и проведем через нее горизонтальную
прямую, то эта прямая пересечет график
в некоторой точке. Пусть абсцисса этой
точки равна
.
Тогда
.
Таким образом, для любого числа
,
лежащего между
и
найдется такое
,
что
и
.
Р
ассмотрим
рис. 32. Точка
лежит между
и
,
но если провести через нее горизонтальную
прямую, то эта прямая не пересечет
графика функции
.
Иными словами между точками
и
нет точки
такой, что
.
Рассмотрим рис.
33. Для любого
,
лежащего между
и
,
найдется точка
между точками
и
такая, что
,
тем не менее рис. 33 отличается от рисунка
31. Действительно, если вместо точек
и
мы возьмем точки
и
из отрезка
,
то убедимся, что значение
лежит между
и
,
но не существует такой точки
из отрезка
,
в которой
.
П
роведенные
рассуждения позволяют уточнить наглядные
представления о линии, состоящей из
одного куска: если график функции
на отрезке
состоит из одного куска, то для любых
двух точек
и
этого отрезка и любого числа
,
лежащего между
и
,
найдется такое значение
,
что
и
;
то есть эта функция принимает все
значения, лежащие между двумя данными
значениями функции.
Покажем, что этим свойством обладает график любой непрерывной функции. Верна следующая «теорема о промежуточном значении»:
(Теорема Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда для любых и этого отрезка и любого числа , лежащего между и найдется такое, что и
.
Доказательство теоремы о промежуточном значении проведем в три этапа:
I. (лемма).
Пусть функция
непрерывна в точке
.
Если она положительна в этой точке (
),
то существует окрестность
точки
,
в которой
.
(леммы) так как функция непрерывна в точке , то найдется такое , что в окрестности
точки
выполняется неравенство
(в качестве
выбрано положительное число
).
Тогда при
имеем:
,
итак,
в
-окрестности
точки
.
Аналогично доказывается, что если функция непрерывна в точке и отрицательна в этой точке, то она отрицательна в некоторой окрестности точки .