II. (Теорема Больцано-Вейерштрасса).

Если функция непрерывна на отрезке и её значения на концах отрезка имеют различные знаки, то найдется точка на отрезке , в которой обращается в нуль.

22. (теоремы Больцано-Вейерштрасса)

Разделим отрезок пополам точкой . Если , то теорема доказана. Если же , то на одной из половин или функция принимает на концах значения различных знаков. Пусть для определенности , , , тогда такой половиной будет отрезок . Этот отрезок снова разделим пополам точкой и повторим проведенное рассуждение. В результате либо мы найдем точку, в которой обращается в нуль, либо получим стягивающуюся систему отрезков (1) с таким свойством: в точках функция отрицательна, а в точках - положительна.

По теореме 6 о стягивающейся системе отрезков найдется точка , общая для всех отрезков системы (1): . Покажем, что в этой точке функция обращается в нуль. Предположим, что , но и с одной стороны для из -окрестности точки (по лемме), а с другой стороны по условию. Полученное противоречие доказывает, что невозможно. Аналогично доказывается, что невозможно. Отсюда делаем вывод, что .

III. Перейдем к доказательству теоремы о промежуточном значении

Пусть , и для определенности , а также – данное число, . Введем вспомогательную функцию . Эта функция непрерывна на отрезке , а значит, и на отрезке .

Рассмотрим ; , тогда по теореме Больцано-Вейерштрасса существует такая точка , что ; или , что и требовалось доказать.

Отметим, что при доказательстве теоремы Больцано-Вейерштрасса был сконструирован метод половинного деления (бисекции, дихотомии), широко применяемый в численных методах.

Сформулируем (без доказательства) еще несколько важных свойств функций, непрерывных на отрезке:

1. ограничена на , то есть (следствие из теоремы Вейерштрасса).

2. имеет на наибольшее и наименьшее значение (теорема Вейерштрасса): ; .

Д адим графическую иллюстрацию к теореме Вейерштрасса (рис. 34, 35).

;

.

4.Классификация точек разрыва разрывных функций

Рассмотрим графики функций: (Рис. 36), (Рис. 37), (Рис. 38). Мы видим, что в каждом случае график функции состоит из двух кусков, значит, рассматриваемые функции не являются непрерывными.

56. Т очкой разрыва функции называют точку , в которой эта функция не является непрерывной.

Таким образом, - точка разрыва функции ; - точка разрыва функции и - точка разрыва функции .

Но характер разрывов в этих трех случаях существенно отличается друг от друга. Действительно, хотя функция - не определена в точке , но существуют оба односторонних предела при и они равны между собой. Легко устранить такой разрыв, доопределив функцию так: .

56. Точка называется точкой разрыва I рода (разрыв функции устранимый), если в этой точке существуют оба односторонних предела и они равны между собой: .

Определена ли функция в этой точке – не важно, но если определена, то значение функции в этой точке не совпадает с пределом функции в этой точке.

Функция (рис. 37), не определенная при , имеет оба односторонних предела при ; . Как видно, они не равны между собой. Такой разрыв устранить невозможно.

56. Точка называется точкой разрыва I рода (разрыв неустранимый) функции , если в этой точке существуют оба односторонних предела, но они не равны между собой .

57. Разность называется скачком функции и обозначается буквой .

Таким образом, если в точке разрывная функция имеет конечный скачок , то в этой точке функция имеет разрыв I рода; разрыв является устранимым, если , и неустранимым в противном случае.

Функция имеет в точке разрыв I рода, неустранимый, скачок .

56. Точка называется точкой разрыва II рода функции , если в этой точке не существует хотя бы один из односторонних пределов.

64. Функция при не имеет предела ни слева: , ни справа , поэтому - точка разрыва II рода функции .

65. Функция непрерывна при всех , при которых , если - простой корень многочлена , но , то - точка разрыва II рода функции , а если , то - точка разрыва I рода (разрыв устранимый).

Функция может иметь разрыв и в случае, когда она задается на разных участках разными аналитическими выражениями. В этом случае «точки стыка» могут быть точками нарушения непрерывности.

64. Функция задана следующим образом . Исследовать эту функцию на непрерывность.

Решение. Функция - непрерывна при , функция непрерывна при . В точке функция не определена, но ; . Значит, эта функция разрывная при , точка разрыва I рода, разрыв неустранимый, скачок .

Отметим, что точки разрыва II рода часто связаны с вертикальными асимптотами для графика функции .

64. Исследовать на непрерывность функцию и схематически построить ее график.

Решение: рассмотрим ; функция разрывна при и при .

П ри ; в этой точке разрыв I рода, устранимый.

При - не существует, значит, в этой точке разрыв II рода.

Рассмотрим функцию ; она имеет горизонтальную асимптоту и вертикальную асимптоту .