10. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность появления события A от испытания к испытанию остается неизменной и равной p (p 0, 1), то ве- роятность PN (i) того, что в N испытаниях событие A наступит ровно i раз, может быть приближенно оценена по формуле:

,

при этом точность оценки тем выше, чем больше N.

Формула (14) называется также формулой Муавра-Лапласа. Приближенные значения вероятности, полученные по формуле (14) считаются вполне приемлемыми на практике при Npq > = 20.

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность появления события A от испытания к испытанию остается неизменной и равной p (p ≠ 0, 1), то вероятность PN (j < = i < = k) того, что количество i появлений события A в N испытаниях находится в диапазоне j < = i < = k, может быть приближенно оценена по формуле:

Формула (16) называется интегральной теоремой Лапласа или теоремой Муавра-Лапласа. Формула (16) тем более точна, чем больше значение параметра N. Как локальная, так и интегральная формулы Лапласа дают удовлетворительную для практики оценку вероятности, если выполняется критерий Npq > = 20.

11. Вероятность отклонения частоты наступления некоторого события от своей вероятности.

12. Ряд распределения. Многоугольник распределения

В лекции №2 уже были введены понятия случайных величин, которые подразделяются на дискретные и непрерывные. Возможные значения дискретных случайных величин заранее известны и они могут быть перечислены. Значения непрерывных случайных величин не могут быть заранее перечислены, но могут быть известны интервалы, значения из которых они принимают. Напомним еще раз определение случайной дискретной величины.

Случайные величины, которые принимают фиксированный набор значений (не обязательно конечный) называются прерывными или дискретными.

Приведем примеры случайных дискретных величин:

 сумма очков при бросании трех игральных кубиков, которая может принимать дискретный набор значений 3,4,…,18;

 число поражений мишени в серии из трех выстрелов 0,1,2,3;

 количество работников на предприятии;

 количество ДТП в г. Москве в течение дня;

 количество граждан в РФ и пр.

Случайные величины, значения которых непрерывно заполняют некоторый интервал, называют непрерывными.

Примеры случайных непрерывных величин:

 рост человека;

 длительность поездки из пункта A в пункт B;

 напряжение в электросети;

 уровень воды в водохранилище;

 температура дома и пр.

В теории вероятностей случайные величины принято обозначать большими буквами, а их значения соответствующими малыми буквами. Например определим дискретную случайную величину X, которая может принимать три значения x1, x2, x3.

Рассмотрим дискретную случайную величину X, которая может принимать N различных значений x1, x2, …, xN, причем заранее неизвестно какое. Считается, что каждое значение из набора x1, x2, …, xN возможно наступит. Другими словами среди данного перечня нет ни одного значения, которое достоверно наступит. Таким образом, в результате опыта случайная величина X примет одно из возможных значений из полной группы x1, x2, …, xN.

Определим вероятности, с какой случайная величина принимает значения из указанного перечня:

С точки зрения теории вероятностей, случайная величина X считается полностью описанной, т.е. нам все о ней известно, если известно распределение вероятностей (1), которые удовлетворяют условию полноты (2).

Можно дать следующее общее определение закону распределения случайной величины, причем оно применимо, после некоторых уточнений, как к дискретной, так и случайной непрерывной величине.

Законом распределения случайной величины называется соотношение между значениями, которые может принять случайная величина и соответствующими вероятностями. В этом случае говорят, что случайная величина подчиняется данному распределению.

Для дискретной случайной величины простейшей формой представления закона распределения выступает таблица №1, в которой перечислены все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.

Таблица №1. Простейшая форма представления закона распределения случайной величины X
X = xi	X = x1	X = x2	…	X = xN
pi	p1	p2	…	pN

Таблицу №1 принято называть рядом распределения случайной вели- чины X. Часто таблицу №1 изображают в виде графика, где по оси абсцисс откладывают значения случайной величины, а по оси ординат — соответствующие им вероятности. Такой график называют многоугольником распределения.