13. Функция распределения и вероятность попадания в заданный интервал

Ряд распределения, введенный выше, не является универсальной характери-стикой, т.к. применим только для случайной дискретной величины. Если случайная величина непрерывна, использование ряда распределения невоз-можно, т.к. значения случайной величины не перечислимы и могут прини-мать значения из некоторого интервала. Кроме того вероятность отдельного значения случайной непрерывной величины равняется нулю. Действительно невозможно говорить об отличной от нуля вероятности скажем значения 2–1/2  0,707106781186547, считая, что случайная непрерывная величина принима-ет значения из интервала [0;1]. В тоже время попадание случайной непре-рывной величины в отдельные области значений могут иметь различные ве-роятности.

На основании сделанных замечаний, можно говорить не о вероятности отдельного значения X = x, а о вероятности скажем полуинтервала, опреде-ляемого неравенством X < x. Понятно, что вероятность события X < x зависит от x. Полученная функция F(x) носит название функции распределения слу-чайной величины X, т.е.

F(x) = P(X < x). (5)

Функция распределения F(x) определяет вероятность того, что реали-зация случайной величины X не превысит значение x. Функцию распределе- ния F(x) называют также интегральной функцией распределения или инте- гральным законом распределения.

Функция распределения (5) является наиболее общей характеристикой случайной величины, причем неважно какой, дискретной или непрерывной. Знание функции распределения полностью определяет случайную величину.

Перечислим основные свойства функции распределения.

1. Функция F(x) является неубывающей функцией своего аргумента, т.е. при x2 > x1 должно быть F(x2)  F(x1).

2. При x  –, F(x)  0.

3. При x  +, F(x)  1.

График функции распределения F(x) в общем случае представляет со- бой неубывающую линию, причем в отдельных точках возможны скачки значений, т.е. функция распределения в общем случае может претерпевать разрывы или скачки.