Домашнее задание

Задача 1

Определите границы доверительного интервала измерения температуры и среднего квадратического отклонения с доверительной вероятностью 0,99, если при числе измерений n = 26, среднее значение температуры составило 1067 °С, а дисперсия D равна 36(°С)². Предполагается нормальный закон распределения погрешностей.

Задача 2

Определите границы доверительного интервала измерения температуры и среднего квадратического отклонения с доверительной вероятностью 0,95, если при числе измерений n = 31, среднее значение температуры составило 1067 °С, а дисперсия D равна 49 (°С)². Предполагается нормальный закон распределения погрешностей.

Задача 3

Определите границы доверительного интервала измерения температуры и среднего квадратического отклонения с доверительной вероятностью 0,95, если при числе измерений n = 100, среднее значение температуры составило 1067 °С, а дисперсия D равна 64 (°С)². Предполагается нормальный закон распределения погрешностей.

Задача 4

Определите границы доверительного интервала измерения температуры и среднего квадратического отклонения с доверительной вероятностью 0,997, если при числе измерений n = 90, среднее значение температуры составило 1067 °С, а дисперсия D равна 64 (°С)². Предполагается нормальный закон распределения погрешностей.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3

Отсев грубых погрешностей

Выборка случайной величины может содержать грубые погрешности, которые нарушают однородность распределения этой величины. Чтобы исключить эти нарушения, грубые погрешности необходимо отсеять, то есть убрать из выборки. Выявление грубых погрешностей производят в предположении, что выборка подчиняется нормальному закону распределения.

Существует много рекомендаций для отсева грубых погрешностей. Наиболее простыми из них являются:

1. Метод вычисления максимального относительного отклонения.

2. Метод оценки критического значения распределения Стьюдента.

Метод вычисления максимального относительного отклонения применим для выборок небольшого объема . Второй метод пригоден для выборок любого объема.

Для обнаружения грубых погрешностей проверяется следующая нуль-гипотеза : распределение случайной величины в данной выборке является однородным, то есть не содержит грубых погрешностей.

Проверку выполнимости этой нуль-гипотезы осуществляют по следующим условиям:

1. По методу вычисления максимального относительного отклонения

, (1)

где - абсолютное значение наибольшего отклонения элементов вариационного ряда от выборочного среднего ; - несмещенная оценка среднего квадратического отклонения отдельного элемента выборки:

; (2)

- квантиль распределения максимального относительного отклонения при уровне значимости p = 0.05.

2. По методу оценки критического значения распределения Стьюдента

, (3)

где  критическое значение распределения Стьюдента при уровне значимости p; - квантиль распределения Стьюдента при числе степеней свободы и уровне значимости p.

При выполнении условий (1) и (3) проверяемый элемент с вероятностью = 1 – p не содержит грубой погрешности и его оставляют выборке. Проверка других элементов выборки не имеет смысла.

Если условие (1) (при ) или условие (3) не выполняются при принятом уровне значимости p = 0.05, то проверяемый элемент выборки с вероятностью отсеивается, то есть исключается из выборки (объем выборки уменьшается на единицу). После этого проверяется следующий элемент, у которого величина имеет наибольшее значение из оставшихся элементов. И так далее.

На этом предварительная обработка опытных данных завершается и можно приступить к окончательной обработке (построению вариационного и статистического рядов, определению числовых характеристик и т.д.).

Заключительным этапом обработки опытных данных является оценка доверительного интервала и запись результата измерений.

Оценкой доверительного интервала измеряемой величины служит абсолютная погрешность измерения (абсолютная ошибка):

. (4)

Здесь - квантиль распределения Стьюдента для числа степеней свободы и доверительной вероятности = p – 1;  среднее квадратическое отклонение выборочного среднего значения :

Оценкой истинного значения измеренной величины служит среднее выборочное значение , а диапазон

.

называют доверительным интервалом величины X. Доверительный интервал, как это следует из формулы (4), зависит от принятого уровня значимости p. Поэтому в окончательном результате измерения необходимо указывать как абсолютную погрешность измерения, так и соответствующую ей доверительную вероятность = 1 – p:

, единицы измерения при = 1 – p. (5)

Перед окончательной записью результата измерения необходимо произвести его округление.

Округление начинают с абсолютной ошибки . Для этого применяется следующее правило:

а) если первая цифра в не превышает трех, оставляют два значащих разряда;

б) в остальных случаях оставляют один значащий разряд.

Значащие разряды в абсолютной ошибке являются сомнительными, более старшие разряды будут верными.

Пример .1. Округление вычисленных значений . Первая цифра в округляемых подчеркнута.

Результат вычисления	Результат округления	Вариант округления
0.02745	0,027	а: 2 < 3
5.045	5	б: 5 > 3
12.437	12	а: 1 < 3
0.0007459	0.0007	б: 7 > 3

После округления абсолютной ошибки округляют значение , при-меняя следующее правило: последняя цифра в должна быть такого же порядка величины (то есть должна находиться в той же десятичной позиции), что и последняя значащая цифра в абсолютной ошибке .

В результате округления в будет столько же сомнительных разрядов, сколько их в .

Пример 2. Округление вычисленных значений (сравни с примером 1). Наименьшая десятичная позиция в , в которой должна быть сохранена значащая цифра, подчеркнута. (В записях результатов не приведены единицы измерения и доверительные вероятности ).

Результат Вычисления	Окончательная запись результата
786.7563 0.027	786.756 0.027
92.81 5	93 5
353.22 12	353 12
46.99555 0.0007	46.9956 0.0007