3.4.Метод непараметрической статистики

В случае выборок небольшого объема n20 для проверки гипотезы о законе распределения можно использовать простые критерии, основанные на сравнении генеральных параметров распределения и их оценок, полученных по выборке. В качестве оцениваемых параметров удобнее всего брать моменты.

Нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами – математическим ожиданием m_x и стандартом _х . Все остальные моменты нормального распределения выражаются через математическое ожидание и стандарт. Для нормального распределения коэффициент асимметрии определяется по формуле:

(7)

и ₁=0, так как ₃=0.

Коэффициент экцесса, определяемый по формуле:

(8)

и тоже равен нулю, так как для нормального распределения

(9)

Выборочные коэффициенты экцесса и асимметрии определяются по формулам:

	(10)
	(11)

Распределение этих оценок сложны и мало изучены. Однако известны дисперсии этих величин:

(12)

где n- объем выборки.

Зная дисперсии D(₁^) и D(₂^), можно оценить, значимо ли выборочные коэффициенты асимметрии и экцесса отличаются от нуля. Если

	(13)
	(14)

то наблюдаемое распределение можно считать нормальным.

Хотя непараметрическая статистика обладает высокой универсальностью, но применять ее нужно осторожно, т.к. достаточно надежные результаты получаются лишь при очень больших n.

Нормальное распределение является наиболее изученным. Поэтому его стараются использовать и при изучении случайных величин, распределение которых отлично от нормального. Здесь могут быть два основных пути.

Первый путь заключается в переходе от заданной величины к другой, имеющей нормальное распределение, по определенной формуле, которую впоследствии можно будет учесть. Например, при изучении свойств случайной величины может оказаться, что нормальное распределение имеет ее логарифм (такое распределение называется логарифмически нормальным). Тогда вместо случайной величины X следует рассматривать случайную величину =lg X, пересчитав все исходные данные применительно к новой величине. Получив с помощью формул нормального распределения все необходимые результаты для , затем снова можно вернуться к X.

Другой путь заключается в том, чтобы распределение заданной случайной величины заменить приближенно нормальным (если это возможно). Второй путь особенно часто применяется при обработке экспериментальных данных, где обычно нет возможности установить распределение случайной величины с абсолютной точностью. Например, при обработке небольшого цифрового материала (микростатистика) можно, как правило, всегда пользоваться критерием нормального распределения, т.к. отклонения различных распределений друг от друга практически не заметны на малых выборках.

4.Задания к лабораторной работе

1. Получить числовые данные у преподавателя. Полученные значения являются записями трех реализаций одного процесса (тремя выборками одной генеральной совокупности).

2. Для каждой выборки:

• построить график процесса и определить основные статистические характеристики (среднее, максимальное и минимальное значения, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, медиану, коэффициенты асимметрии и эксцесса);

• построить гистограмму;

• проверить данные на соответствие нормальному закону распределения по критерию указанному преподавателем.

3. Сделать вывод о соответствии изучаемого процесса нормальному закону распределения.