Тема 5. Модель конкурентного ринку

1. Поняття конкурентного ринку.

2. Складові моделі Ерроу-Дебре.

3. Конкурентна рівновага, її властивості.

4. Умови існування конкурентної рівноваги.

5. Функції попиту, їх властивості. Закон Вальраса.

Ринок у теоретико-економічних дослідженнях розглядається як сукупність виробників та споживачів певних видів товарів та послуг, які здійснюють обмін виробленої ними продукції у формі актів купівлі-продажу за цінами, що змінюються вільно, під впливом попиту та пропозиції. У зв’язку з вільною зміною цін виникає питання: чи існують такі ціни, за яких попит дорівнюватиме пропозиції та інтереси всіх учасників будуть максимально задоволені (наскільки це можливо). Для відповіді призначена модель Ерроу-Дебре. Модель спирається на поняття конкурентного ринку, коли жоден з учасників не може активно впливати на ціни. Це можливо у 2 випадках.

По-перше, це коли кожен з учасників ринку контролює лише вкрай малу частку сукупного попиту та пропозиції і при всьому бажанні не може вплинути на ціни. По-друге, коли існує певний арбітр ринку (наприклад, органи державного управління), які слідкують за тим, щоб учасники не впливали на ціни та перешкоджають такому впливу як економічними (комплексуючи зміни попиту та пропозиції), так і позаекономічними (здійснюючи адміністративний тиск) методами.

На перший погляд – це різні ситуації. Але, по суті, виробники та споживачі в обох цих ситуаціях діють однаковим чином, тому не будемо їх надалі розрізняти.

Структура моделі.

Нехай є:

n - видів товарів та послуг;

l – споживачів, m виробників (виробники розглядаються відокремлено від споживачів);

надалі

i – номер споживача,

k – номер виробника.

Виробники.

Програма виробництва y^(k) = ( ),

y^(k) Y^(k) – виробничо-технологічна множина (ресурсні, технологічні обмеження тощо).

Якщо - виробник виготовляє товар j;

- споживає товар j з виробничою метою.

Властивості:

1. Y^(k) опукла, замкнена, обмежена;

2. y^(k) = Y^(k) – належність нуль-вектора виробничо-технологічній множині (можливість відмови від виробництва);

3. неможливість “рогу достатку”:

нехай , {y} = Y,

y – програма сукупного виробництва,

тоді, якщо y Y, y ≥ 0, то y = 0.

Необерненість технологічних процесів:

якщо y Y та y ≠ 0, тоді - y Y;

4. мета виробника – одержання максимального прибутку.

, .

- найбільший прибуток k-го виробника, який він одержить за заданих цін р.

Прибуток розподіляється між споживачами за коефіцієнтами розподілу ;

(розподіл – повний, без залишку).

Споживачі.

- меню споживання:

x⁽ⁱ⁾ X⁽ⁱ⁾, , X⁽ⁱ⁾ – множина припустимих меню споживання – замкнена, не обмежена;

а⁽ⁱ⁾ – початкова власність (невід‘ємний n-вимірний вектор, запаси товарів та послуг, які споживачі можуть продати або спожити).

Переваги і-го споживача можна описати бінарним відношенням R_i або функцією корисності U_i (x⁽ⁱ⁾) , яка вважається неперервною та монотонною. Зупинившись на другому підході, маємо модель споживача:

(мета споживача),

- бюджетне обмеження,

x⁽ⁱ⁾ X⁽ⁱ⁾ – належність множині припустимих меню споживання.

Баланс виробництва та споживання:

.

Як ситуацію рівноваги у цій моделі будемо розглядати такий набір меню споживання кожного із споживачів: , індивідуальних виробничих програм кожного з виробників та цін , який задовольняє наступним вимогам:

1) максимізує прибуток кожного із виробників за цін р = :

;

2) є найкращим меню споживання для кожного і-го споживача за наявних у нього фінансових ресурсів:

тобто - це розв‘язок задачі математичного програмування:

U_i (x⁽ⁱ⁾) → max,

,

x⁽ⁱ⁾ X⁽ⁱ⁾;

3. виконується баланс виробництва та пропозиції (у широкому розумінні):

,

причому

.

(Перевищення пропозиції над попитом можливе, але тільки для тих благ, ціни на які нульові).

Ціни звуться цінами рівноваги. Коли ж такі ціни (а, отже, і стан рівноваги) існують?

Є декілька наборів умов щодо цього. Розглянемо найчастіше вживані.

Теорема 1. Нехай для кожного існує а^(і) таке, що для деякого b⁽ⁱ⁾ X⁽ⁱ⁾ виконується а^(і) > b⁽ⁱ⁾. Нехай також виконуються раніше зроблені припущення.

Тоді існує конкурентна рівновага

.

Припущення про строгу позитивність (відносно X⁽ⁱ⁾) кожної компоненти початкової власності у кожного із споживачів та про монотонність U(x) за кожною компонентою є, безумовно, проблематичним. Розглянемо набори умов, які цього не вимагатимуть.

Нехай серед x⁽ⁱ⁾ є компоненти, збільшуючи котрі, ми необмежено збільшуємо U_і(x⁽ⁱ⁾). Товари, що відповідають цим компонентам, звуться бажаними для і-го споживача. Якщо якийсь товар є бажаним для кожного із споживачів, назвемо його бажаним. Множина Y зветься продуктивною якщо для будь-якого h, h - бажаний, та для будь-якого y = (y₁, …, y_h, …, y_n) знайдеться , для якого виконуватиметься:

, , i ≠ h, i ≠ q,

,

,

для деякого q (тобто можна завжди збільшити виробництво бажаного товару за рахунок не бажаного. Останній товар зветься продуктивним).

Розглянемо тепер інші умови існування конкурентної рівноваги.

Теорема 2 . Нехай всі блага, що розглядаються у моделі, є бажаними та виконуються наступні умови:

1) кожен споживач має початкову власність а^(і) ≥ b⁽ⁱ⁾ X⁽ⁱ⁾ та хоча б для одного блага (взагалі кажучи, свого для кожного споживача) ця нерівність є строгою.

2) існують y^(k) такі, що

,

( ).

Тоді існує конкурентна рівновага , причому > 0.

Проаналізуємо ці умови:

- перша умова означає, що кожен із споживачів має у власності хоча б одне із благ (а не всі одразу, як у теоремі 1!);

- друга умова означає, що виробничі сили суспільства дозволяють задовольнити більш ніж мінімальну потребу усіх споживачів.

Це більш адекватні дійсності припущення. Проблематичним є лише твердження про те, що кожен з товарів є бажаним (це може виконуватись хіба що для укрупненої номенклатури благ). Тому також розглядаються наступні умови:

Теорема 3. Нехай множини бажаних та продуктивних товарів є непорожні та виконуються наступні умови

1) для будь-якого i, , існує a⁽ⁱ⁾ таке, що для певного b⁽ⁱ⁾ X⁽ⁱ⁾, а^(і) ≥ b⁽ⁱ⁾ та хоча б за одним з продуктивних товарів ця нерівність – строга.

2) існують такі ,..., та такі , що виконується

.

Тоді існує конкурентна рівновага

.

Умови (як теорема 2, так і теорема 3)) більш повні, ніж попередні, бо може не бути обмежуючим меню для початкової власності.

Шлях доведення цих теорем – однаковий: будуємо функції попиту споживачів, функції пропозиції виробників та доводимо, що існує , для якого

та

.

При цьому використовується наступне співвідношення:

За будь-яких р за визначенням : , крім того, має виконуватись:

,

або ж

, .

Складемо ці нерівності, застосувавши позначення

- сукупний попит,

- сукупна початкова власність.

Одержимо:

,

.

З

сукупна ринкова пропозиція

відси

- Закон Вальраса у вузькому розумінні

Закон (у вузькому розумінні) виконується за будь-яких цін.

Рівність

,

що випливає з визначення рівноваги, зветься законом Вальраса у широкому розумінні. Вона має виконуватись, передусім, для цін рівноваги .