Задачи для самостоятельного решения

1. На отрезке ОА числовой оси Ох наудачу поставлены две точки: В(х) и С (у). Найти вероятность того, что длина отрезка ВС меньше расстояния от точки О до ближайшей к ней точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Ответ. р= 0,5.

2. На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки: В(х) и С (у), причем у  х. Найти вероятность того, что длина отрезка ВС меньше чем L/2. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Ответ. р=0,75.

3. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого сигнала равновозможно в любой момент промежутка времени длительностью Т. Моменты поступления сигналов не зависят один от другого. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за время t, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.

Ответ. р =

4. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной a наудачу брошена монета радиуса r < a/2. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из сторон квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки на плоскую фигуру пропорциональна площади фигуры не зависит от ее расположения на плоcкости.

Ответ. р =

5. Шарик брошен наудачу внутрь круга радиуса R. Вероятность попадания шарика в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональна площади этой области. Найти вероятность того, что точка прикосновения шарика к плоскость круга находится от центра на расстоянии, меньшем r ( r <R).

Ответ. р =

6. В круг вписан правильный треугольник. Зная, что попадание точки в круг достоверно и что вероятность попадания точки в какую-либо часть круга зависит только от площади этой части и пропорциональна ей, найти вероятность попадания точки в треугольник.

Ответ. р =

7. На отрезок АВ длиной 12 см наугад поставлена точка М. Вероятность попадания точки на отрезок АМ пропорциональна его длине. Какова вероятность, что площадь квадрата, построенного на АМ , будет больше 36 см и меньше 81 см ?

Ответ. р = 0,25.

Занятие 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А — попадание при первом выстреле, В—попадание при втором выстреле, то А + В—попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и В—несовместные, то

А + В - событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В + С состоит в появлении следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.

Произведением двух событий А и В называют событие А В, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А—деталь годная, В—деталь окрашенная, то АВ—деталь годна и окрашена. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С—появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого (вероятность суммы событий), равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B) = P(A) + P(B).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого равна сумме вероятностей этих событий:

P(A₁+A₂+...+A_n) =P(A₁)+P(A₂)+...+P(A_n).

Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А)

P(A)=10/30=1/3.

Вероятность появления синего шара (событие В)

P(B)=5/30.

События А и В несовместны (появление одного шара исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность

P(A+B)=P(A)+P(B)=1/3+1/6=1/2.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать .

Попадание и промах при выстреле по цели — противоположные события. Если А — попадание, то — промах.

Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — противоположные.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А) + Р( )=1.

Замечание. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают . Таким образом, в силу предыдущей теоремы

р+q=1.

Пример 2. Вероятность того, что день будет дождливым, р=0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным.

Решение. События «день дождливый» и «день ясный» - противоположные, поэтому искомая вероятность

q=1-р=1-0,7 = 0,3.

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Например, если А – появление четырех очков при бросании игральной кости; В – появление четного числа очков, то события А и В – совместные.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ),

где АВ – произведение событий А и В.

Условной вероятностью Р_А(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

Р_А(В) = Р (В).

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ) = Р(А)Р_А(В).

Замечание. Справедливо равенство

Р(А)Р_А(В) = Р(В)Р_В(А).

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились. В частности, для трех событий

Р(АВС) = Р(А)Р_А(В)Р_АВ(С).

Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д.

Пример 3. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором — черный (событие В) и при третьем — синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом испытании

Р (А) = 5/12.

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность

Р_А (В) = 4/11.

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый пар, а во втором — черный, т. е. условная вероятность

Р_АВ (С) = 3/10.

Искомая вероятность

Р(АВС) = Р(А)Р_А(В)Р_АВ(С)=

Для независимых событий теорема умножения

Р (АВ) = Р (А) Р_А (В)

имеет вид

Р (АВ) = Р(А)Р (В),

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример 4. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым (событие В) - 0,7.

Решение. События А и В независимые, поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность

Р (АВ) = Р(А)Р (В) = .

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁, А₂, …, А_n независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий , , …, :

P(A)=1-q₁q₂ …q_п .

Замечание. Если события А₁, А₂, …, А_n имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

P(A)=1-q^п .

Пример 5. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р₁=0,8; р₂=0,7; р₃=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события А₁ (попадание первого орудия), А₂ (попадание второго орудия), А₃ (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям А₁, А₂ и А₃ (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

q₁=1-p₁=1-0,8=0,2; q₂=1-p₂=1-0,7=0,3; q₃=1-p₃=1-0,9=0,1.

Искомая вероятность

P(A)=1-q₁q₂q₃=1- =0,994.