Задачи для самостоятельного решения

1. В первой урне 5 белых и 3 черных шара, во второй - 4 белых и 7 черных шаров. Из первой во вторую перекладывают два шара, а затем из второй извлекают один шар. Определить вероятность, что он белый.

Ответ. р ≈ 0.387.

2. В ящике лежат 20 теннисных мячей, 15 новых и 5 старых. Для игры наудачу выбираю 2 мяча и после игры возвращают обратно. Затем для второй игры также наудачу берут еще два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

Ответ. р ≈ 0.445.

3. По объекту производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при каждом выстреле соответственно 0,4; 0,5; 0,7. Для вывода объекта из строя достаточно трех попаданий, при двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,6, при одном - с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов объект будет выведен из строя.

Ответ. р = 0.458.

4. Рабочий обслуживает два разных станка, производя при этом одинаковые детали. Известно, что производительность первого станка в три раза больше, чем второго. Вероятность брака для первого станка равна 0,03; для второго - 0,01. Определить вероятность того, что наудачу взятая деталь – бракованная.

Ответ. р = 0.015.

5. В альбоме 5 чистых и 7 гашеных марок. Из них наудачу извлекают 3 марки , подвергают спецгашению и возвращают обратно. После этого вновь извлекают одну марку. Определить вероятность того, что марка чистая?

Ответ. р = 0.3125

6. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника — 0,9, для велосипедиста — 0,8 и для бегуна — 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.

Ответ. р = 0,86.

7. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом № 1, и 2 коробки деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна, равна 0,8, а завода № 2 — 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

Ответ. р = 0,84.

8. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором — 30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика - стандартная.

Ответ. р = 43/60.

9. Группа студентов состоит из 4 отличников, 10 хорошо успевающих и 6 занимающихся слабо. Отличники на экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

Ответ. р = 0,8.

10. В пирамиде 5 винтовок, из которых 3 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Ответ. р = 0.85.

Занятие 6. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B_l, В₂, .... В_п, образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности .

Если вероятности гипотез до опыта были Р(В₁), Р(В₂),…, Р(В_п), а в результате опыта появилось событие А, то условные вероятности , , …, с учетом появления события А вычисляются по формулам Бейеса

= ,

где Р(А) – полная вероятность.

Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример. 1. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму — 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет приз­нана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым—0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предположения:

1) деталь проверил первый контролер (гипотеза В₁);

2) деталь проверил второй контролер (гипотеза В₂).

Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролер, найдем по формуле Бейеса:

= .

По условию задачи имеем: Р(В₁) = 0,6 (вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру); Р(В₃) = 0,4 (вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру); =0,94 (вероятность того, что годная деталь будет признана первым контролером стандартной); =0,98 (вероятность того, что годная деталь будет признана вторым контролером стандартной).

Искомая вероятность

= ( )/( + ) 0,59.

Пример 2. Имеются три урны: в первой - 3 белых шара и 1 черный, во второй – 2 белых и 3 черных, в третьей – 3 белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее один шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что шар вынут из первой урны.

Решение. Выделяем гипотезы: Н₁={выбрана первая урна}; H₂={выбрана вторая урна}; H₃={выбрана третья урна}. Ясно, что

.

В результате опыта появилось событие А={вынут белый шарик}. Нетрудно найти: Р(А/Н₁)= , Р(А/Н₂)= , Р(А/Н₃)=1. Применяя формулу Бейеса, находим вероятность гипотезы Н₁ после опыта:

.