17. Особенности принятия решений при многих критериях.

Многокритериальность может быть обусловлена одной из трех причин:

1. Цель не может быть адекватно представлена (покрыта) одним критерием.

2. Принимающий решения ставит более одной цели, которые связаны общими активными средствами.

3. Решения принимаются группой лиц с несовпадающими интересами.

В формальном представлении критерии (целевые функции), по которым оценивается решение Х, будет записываться в виде f_i(Х), .

Критерий f_i называют также частными. Примем, что для всех i чем больше значение критерия, тем лучше. Тогда задача многокритериального математического программирования запишется в виде:

max{f₁(X)=y₁},

max{f₂(X)=y₂},

. . . . . . .

max{f_m(X)=y_m},

Х D,

где D – множество допустимых решений. Т.е. задача состоит в максимизации вектора критериев f(X)=Y по X D.

Существенное отличие этой задачи от традиционной однокритериальной состоит в понятии оптимальности. В однокритериальной задаче под оптимальным понимается решение, обеспечивающее максимальное значение критерия. При многих критериях увеличение одних критериев приводит к уменьшению других (редкие исключения не представляют практического интереса) и поэтому понятие оптимальности требует принципиальных уточнений. Очевидно, что без дополнительной информации о предпочтениях ЛПР бессмысленно говорить об оптимальном решении и тем более формализованно искать его.

Допустимое множество D строится в n-мерном пространстве переменных. Каждое решение X D полностью характеризуется соответствующими значениями всех частных критериев, т.е. вектором Y. Числовое m-мерное пространство E^m, координатами которого являются y_i=f_i(X), называется критериальным пространством. Очевидно, что каждому Х можно поставить в соответствие точку в критериальном пространстве. Если же решение Х допустимо, то соответствующая точка в E^m, определяемая вектором Y, является достижимой. Множество таких точек в критериальном пространстве называется множеством достижимости (достижимых векторов). Таким образом, векторная функция f(X) отображает допустимое множество D на множестве достижимости G:

и задача состоит в выборе вектора из этого множества, наилучшего с точки зрения ЛПР.

В общем случае построение множества G для реальных задач весьма проблематично, но для задач с «хорошими» свойствами, например, линейных, множество достижимости может быть построено.

Р ассмотрим пример с двумя критериями (рис10.1). Независимо от предпочтений ЛПР, вектор критериев, соответствующий точке 2, лучше, чем в точке 1. Аналогично, точка 3 лучше точки 2, а 4 лучше 3. Но точки 4 и 5 оказываются не сравнимыми, так как по первому критерию лучше точка 5, а по второму – точка 4. Как для точки 5, так и для 4 на множестве G можно найти лучшую точку, например 6. Нетрудно убедиться в том, что для любой точки Y внутри G найдется точка, которая ее доминирует, т.е. лучше хотя бы по одному частному критерию и не хуже по всем другим. В то же время для точек 6 или 7 этого сделать нельзя. Более того, не найдется вектора из G, который доминировал бы точку, принадлежащую северо-восточной границе AB множества G. Таким образом, векторы на АВ являются недоминируемыми (неулучшаемыми). Одновременно они являются несравнимыми между собой (например, в точках 6 и 7), поэтому отдать предпочтение одному из них без ЛПР невозможно. Такие точки (векторы критериев и соответствующие решения) называют эффективными или оптимальными по Парето. Их совокупность образует множество Парето (паретовское множество).

О птимальное решение следует искать только среди эффективных точек. При групповом принятии решений множество эффективных точек называют также переговрным, подчеркивая тем самым, что только их и нужно рассматривать в качестве претендентов на компромиссное решение. Если эффективная точка одна (А на рис.10.2), что возможно в тривиальном случае непротиворечивости критериев, то она и является искомым оптимумом. В задачах с конечным числом точек G (дискретные задачи) выделение эффективного множества часто настолько уменьшает число вариантов, что выбор из них наилучшего не вызывает затруднений у ЛПР.

Однако при непрерывном и тем более невыпуклом множестве G паретовское множество имеет сложную структуру и его исследование требует специальных методов.

Определения.

Для описания предпочтений используют бинарные отношения, вводимые на множестве А сравниваемых объектов. В многокритериальной задаче роль таких объектов играют X или Y на множествах D и G соответственно.

Если из двух объектов a и b ЛПР выбирает a, то говорят, что a предпочтительнее b. Все пары вида (a,b), где a,bА, для которых a предпочтительнее b, образуют множество, называемое отношением строгого предпочтения на А. Такое отношение обозначают символом  (ab или aPb, где Р – предпочтение).

Объекты a и b неразличимы для ЛПР, если они одинаковы по предпочтительности. Это значит, что не выполняется ни отношение ab, ни ba. Множество всех неразличимых пар (a,b) называют отношением неразличимости или безразличия и обозначают символом ~ (a~b или aIb, I - безразличие).

О чевидно, что для любой пары a,b A выполняется только одно из трех соотношений: ab, ba, a~b. Объединение P и I дает отношение нестрогого предпочтения, обозначаемого символом (a b или aRb). Отношение a b означает, что a не менее предпочтительно, чем b.

В соответствии с этими определениями решение Х* D (вектор Y* G) называют оптимальным по отношению  на множестве D (G), если не существует другого решения Х D (вектора Y G), для которого справедливо соотношение ХХ* (YY*). Если для любых X D (Y G) выполняется соотношение X* X (Y* Y), то X* D (Y* G) называется оптимальным решением (вектором) по отношению .

Чаще все значения частного критерия можно упорядочить по предпочтению без учета значений других критериев. Такие критерии называют независимыми по предпочтению от остальных.

Задачи, в которых все критерии независимы по предпочтению, а отношением строгого предпочтения R является отношение >= (не меньше) называются многокритериальными задачами максимизации (аналогично при отношении «не больше» – задачами минимизации).

Вектор (решение), оптимальный по отношению ≥ на множестве G (D), называется эффективным или парето-оптимальным. Значит, вектор Y^*G является парето-оптимальным (оптимумом Парето), если не существует вектор Y  G такой, что Y  Y^*. Множество таких векторов обозначают через Р(Y) и называют множеством Парето (эффективным множеством). Множество эффективных решений обозначают через Р(X).

Вектор, оптимальный по отношению >, называют слабо эффективным, слабо оптимальным по Парето (слабым оптимумом Парето). Значит, вектор Y^*G слабо парето оптимальный, если не существует YG такой, что Y>Y^*. Множество таких векторов называют слабо эффективным и обозначают через S(Y). Соответствующее множество слабо эффективных решений имеет обозначение S(X). Если в G не найдётся YY^*, то не существует и Y>Y^*. Следовательно, всякий эффективный вектор одновременно является и слабо эффективным, т.е. P(Y)S(Y). Аналогично P(X)  S(X).

Условия оптимальности

Теорема 1. Пусть Y* G и все . Вектор Y* слабо эффективен тогда и только тогда, когда найдутся такие числа , что

Числовая функция F(Y), определённая на множестве G, является возрастающей по отношению , если из выполнения неравенства YY^ для векторов Y,Y^G всегда следует справедливость неравенства F(Y)>F(Y^). Аналогично, F(Y) – функция, возрастающая по отношению >, если из Y>Y ^ всегда следует F(Y)>F(Y^).

Теорема 2. Пусть функция F(Y) определена на множестве G. Для того чтобы точка Y^*G была эффективной (слабо эффективной), достаточно, чтобы она являлась точкой максимума на множестве G функции F(Y), возрастающей по отношению  (по отношению >).