Простейшая транспортная задача (т-задача)

В общем случае исходными данными являются:

m – число пунктов отправления (ПО) или производства;

n – число пунктов назначения (ПН) или потребления;

C_ij – затраты на перевозку единицы груза из пункта i в пункт j, ij;

a_i – количество груза в пункте i, i (возможности ПО);

b_j – потребность в грузе в пункте j, j.

Критерием задачи являются суммарные затраты на перевозку. Безотносительно к значениям a_i и b_j модель записывается в виде

Однако такая запись модели корректна только тогда, когда Напомним, что задача, в которой суммарные потребности равны суммарной возможности, то есть (1) называется сбалансированной или закрытой. Любая несбалансированная задача легко приводится к закрытой. Рассмотрим только сбалансированную задачу:

	(2)		(3)
	(4)	Xij  0.	(5)

Элементы модели:

– матрица перевозок;

– матрица транспортных затрат;

a=(a1, a2, . . . , am) – вектор возможностей ПО;

b=(b1, b2, . . . , bn) – вектор потребностей ПН.

Особенности рассматриваемой задачи:

- модель содержит две группы условий, размерность которых равна соответствующему числу ПО и ПН; число переменных равно произведению mn;

- все коэффициенты при переменных в условиях (3), (4) равны единице;

- каждая переменная входит в условия ровно 2 раза, один и только один раз в группу (3) и также один раз в группу (4);

- задача имеет простые условия разрешимости, которые определяются следующей теоремой.

Теорема. Для разрешимости Т-задачи необходимо и достаточно, чтобы она была сбалансированной.

Замечание. Теорема справедлива при конечных значениях Сij.

Доказательство. Необходимость доказывается исходя из того, что задача (2)-(5) разрешима. В этом случае все условия задачи выполняются. Просуммируем условия (3) по i, а условия (4) по j: Так как левые части равенств равны, то равны и правые.

Достаточность. Задача линейного программирования всегда разрешима, если допустимое множество – выпуклый многогранник, то есть непустое и ограниченное. Ограниченность переменных снизу задана явно, а ограничение сверху следует из конечности всех a_i и b_j, больше которых переменные быть не могут. Следовательно, множество ограничено. Множество непустое. Для этого достаточно найти хотя бы одно допустимое решение. Одно из таких решений всегда можно построить, если задача сбалансирована, следующим образом: (6) Очевидно, что оно неотрицательно. Остается проверить выполнение основных условий задачи. Подставив (6) в левую часть(3), получим:  решение удовлетворяет условиям (3). Подставив первый вариант (6) в (4), также убеждаемся в выполнении этих условий:

. Таким образом, допустимое множество сбалансированной задачи непустое и ограниченное, а, значит, задача всегда разрешима. Число линейно-независимых уравнений или, иначе, ранг системы (3), (4) равен m+n-1. Следовательно, такую размерность имеют базис и базисное решение Т-задачи.