18. Методы свертки и целевого программирования в принятии решений по многим критериям.

10.2.1.4. Линейная свертка

Если ЛПР может не только ранжировать критерии, но и дать сравнительную количественную оценку значимости (важности) критериев, решение многокритериальной задачи сводится к обычной задаче с одним критерием, в качестве которого берется обобщенный показатель вида

, (10.17)

где С_i- положительные числа, отражающие веса критериев в структуре предпочтений ЛПР. При групповом ЛПР C_i находятся по индивидуальным весам одним из методов обработки экспертных оценок. Обычно значения С_i нормируются так, чтобы =1. Как следует из теоремы 5, точка максимума функции (10.17) при положительных С_i является эффективной.

Данный способ решения многокритериальной задачи имеет существенные недостатки. Во-первых, большие затруднения возникают при определении весов. Одно дело – расположить критерии по важности, и совсем другое - оценить на сколько или во сколько один критерий важнее другого. Во-вторых, неизвестна связь между значениями весов и значениями критериев в точке максимума F(Х). Очень часто эта зависимость оказывается существенно нелинейной (даже в линейных задачах), включая зоны нечувствительности значений f_i к изменению C_i. Поэтому для получения решения, удовлетворяющего ЛПР, приходится максимизировать F(X) для нескольких наборов С_i. Наконец, заметим, что в свертке (10.17) целесообразно все критерии приводить к одним единицам измерения. С этой целью лучше представлять критерии в относительных единицах, беря за базовое максимальное или желаемое значение. Достоинство метода – в стандартности задачи, к которой сводится исходная многокритериальная проблема.

Пример 10.1. Рассмотрим задачу линейного программирования с тремя критериями: максимизировать

f₁(X)=-3x₁+ 2x₂,

f₂(X) = 4x₁₊ 3x_2,

f₃(X)=2x₁-5х₂

при условиях

2x₁+3x₂ 18,

2x₁+x₂ 10,

x₁,x₂ 0.

Допустимая область и линии равного уровня критериев показаны на рис.10.9. Максимальное значение функции f₁(X) равно 12 и достигается в точке А(0,6), при этом =18, =-30; max f₂(X)=24 в точке В(3,4), где =-1 и =-14; mах f₃(Х)=10 в точке С(5,0), в которой =-15 и =20. Если взять свертку с равными весами, то есть

то результат максимизации F(Х), как легко убедиться, совпадает с максимизацией одной функции f₃(Х). Таким образом, при равных весах решение по линейной свертке дает наилучшее значение f₃ и наихудшее для f₁. Используя параметрическое программи­рование, можно определить диапазон значений C_i (зону нечувствительности), в котором оптимальное решение по F(Х) будет оставаться в точке С.

10.2.1.5. Максиминная свертка

Как и в предыдущем подходе, ЛПР должен задать веса C_i всем критериям, но обобщенный критерий записывается в виде

F(X)= . (10.I8)

Тогда многокритериальная задача сводится к максимизации F(X) на Х D. Если ввести новую переменную х_о, то эта задача преобразуется к виду

F(Х)=х_о max;

х_о, i= ; (10.19)

X D,

который более удобен для решения. В частности, если в исходной задаче все функции линейны, то и задача в виде (10.19) будет обычной задачей линейного программирования.

Функция (10.18) подпадает под действие теоремы 5, что гарантирует получение, по крайней мере, слабо эффективного решения многокритериальной задачи.

Максиминная свертка имеет те же недостатки, что и предыдущая, но отличается тем, что максимально увеличивает минимальное слагаемое в (10.17), способствуя относительному сближению значений критериев.

Пример 10.2. Применим рассмотренный подход к задаче из примера 10.1. Снова возьмем равные веса. В соответствии с (10.19) к исходным условиям задачи добавятся ограничения

-3x₁+2x₂ 3x₀

4x₁+3x₂ 3x₀

2x₁-5x₂ 3x₀

и новый критерий х₀ max. Оптимальное решение этой задачи достигается в точке х =х =х =0, в которой f₁, f₂ и f₃ тоже равны нулю.

Сравним с результатами примера 10.1. При решении по критерию (10.17) получили f_i=-15, а по критерию (10.18) f_i=0. Однако это решение доставляет наихудшее значение критерию f₂ и ни одному из критериев не обеспечивает максимального значения.