Примеры

1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Это уравнение с разделяющимися переменными 1.1.

а) ; б) ; в) ; г) ;

Решение .

2. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Это линейное уравнение I порядка 1.2. Замена , , , . Решаем , , , , . Подставляем , т.е. , ; , , , тогда решение .

3. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям . Решаем по 2.1).

Решение. а) Однородное уравнение (2.1.1). Характеристическое уравнение .

б) Частное решение неоднородного уравнения (2.1.2) ; ; .

Ищем ; . Подставим в неоднородное уравнение:

.Приравниваем коэффициенты при и в левой и правой части тождества

. Итак, .

в) Общее решение: .

г) Найдём частное решение при начальных условиях (по 2.1.3):

. Подставим начальные условия:

. Частное решение: при ; .

Варианты контрольной работы

Контрольная работа содержит 2 задания:

1. Найти общее решение дифференциального уравнения I порядка.

2. Найти частное решение дифференциального уравнения II порядка , удовлетворяющее начальным условиям .

.№ вар-та	Задания
1	1) ; 2)
2	1) ; 2)
3	1) ; 2)
4	1) ; 2)
5	1) ; 2)
6	1) ; 2)
7	1) ; 2)
8	1) ; 2)
9	1) ; 2)
10	1) ; 2)

Контрольная работа № 9

Тема: «Теория вероятностей. Случайные события»

Краткая теория и методические указания.

1. Случайные события

   0. Вероятность события А – это число, характеризующее возможность наступления этого события при некоторых испытаниях (опытах).

   1. Классическое определение вероятности. Вероятность события , где m – число благоприятных для этого события исходов опыта, n – общее число всех элементарных исходов .

   2. События А и В называются несовместными, если в результате опыта появление одного события исключает появление другого.

   3. События А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого.

   4. Суммой событий А + В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В (или А или В или обоих вместе).

   5. Произведением (пересечением) событий называется событие D, которое состоит в том, что произошли одновременно оба события А и В (и А и В).

   6. Событие называется противоположным событию А, если в результате опыта может произойти только одно из событий А или . .

   7. Вероятность суммы событий А и В .

   8. Для несовместных событий А и В : .

1.10 Теорема умножения вероятностей независимых событий .

1.11 Условной вероятностью называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.

1.12 Теорема умножения вероятностей зависимых событий .

1.13 Формула полной вероятности. Пусть событие А может произойти с одной из гипотез . События – несовместные и . Тогда .