Тема 5 побудова областей стійкості та заданого ступеня стійкості

5.1 Контрольні питання

1. Що таке область стійкості?

2. Поняття про структурно нестійкі системи.

3. Що таке D-розбиття?

4. Типи меж стійкості та методи їх побудови.

5. Отримання рівнянь коливальної межі стійкості.

6. Спосіб виявлення областей стійкості.

7. Що таке ступінь стійкості?

8. Викласти методику побудови областей заданого ступеня стійкості.

9. Чи можуть перехрещуватися межі областей з різними ступенями стійкості?

5.2 Домашнє завдання

5.2.1 Побудувати методом D-розбиття у площині параметрів , , область стійкості замкненої системи, якщо передаточна функція у розімкненому стані має вигляд

.

Система замкнена одиничним негативним зв'язком.

(Область стійкості для та зображена на рис. 5.1).

5.3 Аудиторна робота

5.3.1 Передаточна функція розімкненої системи

.

Побудувати область стійкості замкненої системи у площині параметрів , . Зворотний зв'язок негативний одиничний. (Область стійкості для та зображена на рис. 5.2).

5.3.2 Передаточна функція розімкненої системи

.

Побудувати область стійкості у площині параметрів , системи, яка замкнена одиничним зворотним зв'язком (області стійкості для зображено на рис. 5.3).

5.3.3 Побудувати області ступеня стійкості та у площині параметрів , для замкненої системи, передаточна функція якої у розімкненому стані

. (5.1)

Приклад: Задача 3 аудиторної роботи.

Рішення. Характеристичне рівняння замкненої системи керування знайдеться складанням чисельника та знаменника передаточної функції системи у розімкненому стані (5.1), що дає

. (5.2)

Щоб побудувати область із заданим ступенем стійкості уводиться нова змінна , де – заданий ступінь стійкості. Тоді

. (5.3)

Підставляючи (5.3.) у (5.2), отримаємо

(5.4)

де

, ,

, (5.5)

.

Для малих значень вираз (5.5) можна лінеарізувати, знехтувавши членами, пропорційними і . Тоді

(5.6)

Рівняння аперіодичної межі області стійкості для змінної має вигляд

або . (5.7)

Рівняння межі з нескінченно великим коренем отримується з рівняння , тобто

. (5.8)

Для отримання коливальної межі стійкості для змінної складається характеристичний комплекс підстановкою у (5.4) :

.

при

(5.9)

або . (5.10)

Визначивши з (5.9) та підставивши у (5.10), отримаємо

або . (5.11)

Співвідношення (5.11) можуть бути отримані також з критерію стійкості Рауса-Гурвіца (див. приклад у темі 4). Якщо підставити (5.6) у (5.11) та знехтувати квадратичними членами відносно , отримаємо

. (5.12)

При

. (5.13)

Межі стійкості за змінною відповідає межа області з заданим ступенем стійкості .

На рис. 5.4 за співвідношеннями (5.7), (5.8), (5.12), (5.13) побудовано межі областей зі ступенями стійкості та .