2.7 Математическое описание линейных систем и звеньев

Линейные системы и звенья (кроме звена чистого запаздывания) описываются линейными дифференциальными уравнениями вида

(2.1)

где – выходная величина системы или звена; – входное воздействие на систему или звено; n>m; n – порядок системы.

Важнейшим свойством линейных систем и звеньев является выполнение для них принципа суперпозиции, который формулируется следующим образом. Реакция линейной системы или линейного звена на несколько воздействий равна сумме реакций на отдельные воздействия.

Поэтому в выражении (2.1), в правой части кроме могут суммироваться и другие воздействия.

Если у системы несколько выходных величин (многомерная система), то она описывается системой уравнений.

В теории автоматического управления принято в уравнениях выходные переменные (величины) располагать в левой части, а входные (воздействия) – в правой части уравнения. Кроме того, принято преобразовывать уравнения так, чтобы коэффициент при самой выходной величине (в нашем случае ) был равен 1.

Разделив обе части уравнения на , получим уравнение в следующем виде:

Коэффициенты при производных выходной величины ─ называют постоянными времени. Они имеют размерность времени. Коэффициенты при воздействиях и их производных называют коэффициентами передачи.

В автоматике при математическом описании линейных систем и звеньев принято переходить от дифференциальных уравнений к передаточным функциям, что упрощает исследование систем и звеньев.

Передаточной функцией называется отношение изображения Лапласа выходной величины к изображению Лапласа входного воздействия при нулевых начальных условиях.

Частотной передаточной функцией называется отношение изображения Фурье выходной величины к изображению Фурье входного воздействия при нулевых начальных условиях.

Формально для линейных дифференциальных уравнений изображение Лапласа получают заменой в уравнении оператора дифференцирования на комплексную переменную , а изображение Фурье – заменой оператора дифференцирования на мнимую переменную ^. Часто вместо p комплексную переменную часто обозначают буквой , чтобы отличить ее от оператора дифференцирования .

Мы будем обозначать и оператор дифференцирования и комплексную переменную одной буквой . Учитывая выше сказанное, передаточная функция линейной системы или звена в общем случае имеет вид:

Полином называется характеристическим полиномом системы (звена). Он определяет характер свободного движения системы. Уравнение называется характеристическим уравнением системы (звена).

Частотная передаточная функция линейной системы или звена в общем случае имеет вид:

где – вещественная часть частотной передаточной функции; – мнимая часть частотной передаточной функции; – модуль частотной передаточной функции; – аргумент частотной передаточной функции.

Линеаризация непрерывно дифференцируемых нелинейностей. Выше φбыло сказано, что линейное математическое описание систем и звеньев почти всегда является приближенным, поскольку характеристики элементов автоматики, как правило, нелинейные. Методы исследования нелинейных систем сложнее методов исследования линейных систем, поэтому, если это возможно, их стремятся линеаризовать. Наиболее распространенный метод линеаризации – линеаризация непрерывно дифференцируемых (гладких) нелинейных характеристик. Идея метода (рисунок 2.6) заключается в замене исходной нелинейной характеристики линейной в окрестностях некоторой точки с координатами . При этом линейная характеристика является касательной к исходной нелинейной в этой точке.

Очевидно, что при малых отклонениях переменных от точки, в которой проведена такая замена, линейная характеристика довольно точно соответствует исходной нелинейной. Для упрощения линейной характеристики ее уравнение записывается в координатах с центром в точке замены. Тогда уравнение полученной линейной характеристики имеет вид:

или .

Рисунок 2.6 – Иллюстрация к вопросу линеаризации гладких нелинейных характеристик

Теоретической основой такой линеаризации является разложение функции в ряд Тейлора в окрестностях точки с координатами :

Если ограничиться небольшой окрестностью точки разложения, то можно учитывать только линейные члены, а остальными пренебречь:

.

Перенеся начало координат в точку с координатами , и обозначив , получаем уравнение

В общем случае уравнение нелинейного звена имеет вид:

(2.2)

Разложив эту функцию в ряд Тейлора в окрестностях точки с координатами , и перенеся начало координат в точку разложения, получаем линеаризованное уравнение звена:

где все частные производные функции (2.2) вычисляются для точки с координатами .

Разделим в полученном уравнении все члены на . Обозначим коэффициенты при производных выходной величины как постоянные времени, коэффициенты при входном воздействии и его производных, как коэффициенты передачи. В результате получим линеаризованное уравнение звена. Обычно знак приращения опускается, поскольку заранее известно, что линеаризованные уравнения записываются в отклонениях.

Окончательно получаем линеаризованное уравнение и передаточную функцию звена общего вида:

Линеаризация может быть проведена двумя методами: аналитическим и путем графоаналитической обработки полученной экспериментально нелинейной характеристики.

При аналитической линеаризации уравнение исходной нелинейной характеристики дифференцируется по требуемой переменной. Коэффициенты находятся путем вычисления производных в точке линеаризации.

При использовании второго метода экспериментально снимается статическая характеристика элемента. Коэффициент передачи находится как тангенс угла наклона касательной к нелинейной характеристике в точке линеаризации . Графоаналитический метод применяется при линеаризации статических характеристик.

Если теоретическим путем математическое описание какого-либо объекта получить затруднительно или невозможно, то прибегают к идентификации этого объекта. Наиболее простой формой идентификации является идентификация линейных объектов по переходной функции.

Порядок идентификации линейных объектов по виду переходной функции следующий.

1. На объект подается ступенчатое воздействие и измеряется переходная функция.

2. По виду экспериментальной переходной функции выбирается линейное звено с переходной функцией наиболее близко соответствующей экспериментальной.

3. Путем графоаналитической обработки переходной функции оцениваются значения параметров передаточной функции выбранного звена.

Рассчитывается теоретическая переходная функция, соответствующая выбранному звену. Если она достаточно точно аппроксимирует экспериментальную переходную функцию, то найденная передаточная функция принимается в качестве математической модели объекта. В противном случае необходимо подбирать передаточную функцию, дающую лучшее совпадение расчетной и экспериментальной переходных функций.

Пункты 2, 3 и 4 можно выполнить путем моделирования на ЭВМ. Передаточную функцию можно при этом подбирать, например, путем наращивания порядка дифференциального уравнения, описывающего объект. Параметры передаточной функции можно подбирать путем сравнения теоретической и экспериментальной переходных функций по какому-либо критерию, например, сумме квадратов отклонений одной функции от другой. Чем меньше сумма квадратов отклонений, тем точнее подобраны математические модели.

В общем случае линейный объект может быть представлен следующей передаточной функцией:

На практике наиболее часто объекты описываются типовыми звеньями, или последовательным соединением какого-либо типового звена со звеном чистого запаздывания, или последовательным соединением типового статического звена с интегрирующим звеном, или последовательным соединением типового статического звена с интегрирующим звеном и звеном чистого запаздывания.