0

_lg ω, дек

ω_с1 ω_с2

L(ω),

дБ

_{Рисунок 2.19 – Возможный вид ЛАХ}

Применение JIAX обусловлено возможностью их построения почти без расчетов в виде асимптот к действительным значениям ЛАХ, которые меняют свой наклон при частотах, называемых сопрягающими частотами. Кроме того, построение обшей ЛАХ цепи последовательно соединенных звеньев можно провести сложением ЛАХ отдельных звеньев на графике.

На рисунок 2.19 и 2.20 показан возможный вид ЛАХ и ЛФХ взятого в качестве примера звена второго порядка. Сопрягающие частоты обозначены и .

L(ω),

дБ

-π

0

Рисунок 2.20 – Возможный вид ЛФХ

2.10 Типовые линейные звенья и их характеристики

Математическое описание систем разбивают на простейшие звенья, свойства которых хорошо известны, что облегчает исследование систем. Такие звенья называют типовыми звеньями. Типовыми звеньями или их соединениями описываются отдельные элементы автоматики, составляющие систему.

Ниже рассмотрены основные типовые линейные звенья. Методы получения характеристик звеньев были рассмотрены выше и поэтому уравнения этих характеристик для конкретных звеньев приведены без специальных пояснений.

Безынерционное звено (усилительное):

1. Уравнение звена .

2. Статическая характеристика звена .

3. Передаточная и частотная передаточные функции звена:

4. Переходная функция звена (рисунок 2.21)

Рисунок 2.21 – Переходная функция безынерционного звена

5. Импульсная переходная функция звена (рисунок 2.22):

Рисунок 2.22 – Импульсная переходная функция безынерционного звена

График изображен условно в виде импульса конечной высоты и конечной ширины. На самом деле эта импульс бесконечной высоты и бесконечно малой ширины. При этом

4. Частотные характеристики звена (рисунки 2.23- 2.25):

Рисунок 2.23 – АЧХ безынерционного звена

Апериодическое звено 1-го порядка

1.Уравнение звена

2. Статическая характеристика эвена .

3. Передаточная и частотная передаточные функции звена:

4. Переходная функция звена (рисунок 2.26)

Рисунок 2.26 – Переходная функция апериодического звена 1-го порядка

Касательная в начале переходной функции (показана на графике тонкой линией) отсекает, на линии установившегося значения переходной функции отрезок, равные постоянной времени звена. Этот факт используется при определении значения по графику переходной функции.

4. Импульсная переходная функция звена (рисунок 2.27)

0

Рисунок 2.27– Импульсная переходная функция апериодического звена 1-го порядка

6. Частотные характеристики звена (рисунки 2.28 – 2.31):

φ(ω)= –arctgTω

Рисунок 2.28 – c АЧХ апериодического звена 1-го порядка

φ(ω)

0

ω

Pиcунок 2.29 – ФЧХ апериодического звена 1-го порядка

jV ω 0 ω=1/T ω=∞	0
Рисунок 2.30 – АФЧХ апериодического звена 1-го порядка	Рисунок 2.31 – ЛАХ апериодического звена 1-го порядка (сплошной линией показана асимптотическая ЛАХ)

Апериодическое звено 2-го порядка

1. Уравнение звена

Постоянные времени и связаны условием или

. (2.4)

2. Статическая характеристика звена .

3. Передаточная и частотная передаточные функции звена:

При условии (2.4) знаменатель передаточной функции разлагается на два сомножителя и . Это показывает, что апериодическое звено 2-го порядка представляет собой два последовательно соединенных апериодических звена 1-го порядка с постоянными времени и , что отражено во второй форме записи передаточных функций.

4. Переходная функция звена (рисунок 2.32)

при

Рисунок 2.32 – Переходная функция апериодического звена 2-го порядка

Тонкой линией показана касательная в точке перегиба переходной функции. На рисунке показано, как проведя касательную, можно определить постоянные времени и звена. Этот факт используется при определении значений и по графику переходной функции.

5. Импульсная переходная функция звена (рисунок 2.33.):

.

Рисунок 2.33 – Импульсная переходная функция апериодического звена 2-го порядка

6. Частотные характеристики звена (рисунки 2.34 – 2.37):

φ(ω) ω		ω
Рисунок 2.34 – АЧХ апериодического звена 2-го порядка	Рисунок 2.35 – ФЧХ апериодического звена 2-го порядка

jV ω=∞ U k ω ω=∞
Рисунок 2.36 – А ФЧХ апериодического звена 2-го порядка	Рисунок 2.37 – ЛАХ апериодического звена 2-го порядка (сплошной линией показана асимптотическая ЛАХ)

Колебательное звено

1. Уравнение звена

Постоянные времени или

2. Статическая характеристика звена

3. Передаточная и частотная передаточные функции звена:

4. Переходная функция звена (рисунок 2.10.18):

где – действительная и мнимая части корней характеристического уравнения звена.

t

Рисунок 2.38 – Переходная функция колебательного звена

Величина является частотой колебаний и может быть определена из графика переходной функции:

Величина характеризует степень затухания колебаний и может быть найдена из графика переходной функции:

5. Импульсная переходная функция звена (рисунок 2.39):

0

Рисунок 2.39 – Импульсная переходная функция колебательного звена

6. Частотные характеристики звена (рисунок 2.40 – 2.43):

.

ω=∞ k 0 ω=0 jV	0
Рисунок 2.42 – АФЧХ колебательного звена	Рисунок 2.43 – ЛАХ колебательного звена (сплошной линией показана асимптотическая ЛАХ)

В окрестностях частоты асимптотическая ЛАХ существенно отличается от действительной ЛАХ, поэтому в учебниках и справочниках имеются графики поправок к асимптотической ЛАХ.

Интегрирующее звено

1. Уравнение звена

или

2. Статическая характеристика звена

У звена нет статической характеристики, поскольку при постоянном входном воздействия выходная: величина постоянно нарастает: . Это звено относится к астатическим звеньям.

3. Передаточная и частотная передаточные функции звена:

4. Переходная функция звена (рисунок 2.44)

5. Импульсная переходная функция звена (рисунок 2.45):

6. Частотные характеристики звена (рисунки 2.46 – 2.49)

.

Рисунок 2.46 – АЧХ интегрирующего звена

Рисунок 2.49 – ЛАХ интегрирующего звена

Дифференцирующее звено

1. Уравнение звена

2. Статическая характеристика звена

3. Передаточная и частотная передаточные функции звена:

4. Переходная функция звена (рисунок 2.50):

Рисунок 2.50 – Переходная функция дифференцирующего звена

5. Импульсная переходная функция звена (рисунок 2.51)

Рисунок 2.51 – Импульсная переходная функция дифференцирующего звена

5. Частотные характеристики звена (рисунки 2.52 - 2.55):

;

.

Рисунок 2.52 ─ АЧХ дифференцирующего звена

Рисунок 2.53 ─ ФЧХ дифференцирующего звена

0

Рисунок 2.54 ─ АФЧХ дифференцирующего звена

0

Рисунок 2.55 ─ ЛАХ дифференцирующего звена

Звено чистого (транспортного) запаздывания

1. Уравнение звена

где τ- время запаздывания.

2. Статическая характеристика звена

3. Передаточная и частотная передаточные функции звена:

4. Переходная функция звена (рисунок 2.56)

Рисунок 2.56 ─ Переходная функция звена чистого запаздывания

Рисунок 2.57 ─ Импульсная пе-

реходная функция звена чистого запаздывания

5. Импульсная переходная функция звена (рисунок 2.57)

6. Частотные характеристики звена (рисунки 2.58 – 2.61):

;

.

0	0
Рисунок 2.60 ─ АФЧХ звена чистого запаздывания	Рисунок 2.61 ─ ЛАХ звена чистого запаздывания

2.11 Обратные связи

Обратной связью называется линия передачи сигнала с выхода системы, звена или цени звеньев на их вход.

Существуют следующие виды обратных связей.

Отрицательная обратная связь - когда выходной сигнал вычитается из входного сигнала.

Положительная обратная связь - когда выходной сигнал складыва­ется с входным сигналом.

Главная обратная связь - линия передачи сигнала с выхода системы на ее вход. Благодаря главной обратной связи осуществляется принцип управления по ошибке.

Местная обратная связь - это обратная связь, охватывающая звено или цепь звеньев системы. Местные обратные связи организуются для придания отдельным частям системы требуемых свойств, например, для формирования пропорционального закона регулирования в системах с астатическим исполнительным механизмом.

Единичная обратная связь - это обратная связь с передаточной функцией линии обратной равной единице.

Жесткая обратная связь - это обратная связь, передающая постоянный и переменный сигнал.

Гибкая обратная связь - это обратная связь, передающая только переменный сигнал. Гибкая обратная связь содержит хотя бы одно дифференцирующее звено, включенное последовательно остальным звеньям обратной связи.

2.12 Передаточные функции соединений звеньев. Преобразования структурных схем

Передаточная функция последовательно соединенных звеньев (рисунок 2.62)

Рисунок 2.62 – Последовательное соединение звеньев

Передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев.

Передаточная функция параллельно соединенных звеньев

Рисунок 2.63 – Параллельное соединение звеньев

(2.5)

Передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций этих звеньев (рисунок 2.63)

Передаточная функция звена или цепи звеньев, охваченных обратной связью (рисунок 2.64)

Рисунок 2.64 – Звено или цепь звеньев , охваченных обратной связью

(2.6)

где – передаточная функция прямой цепи; – передаточная функция обратной связи; – передаточная функция разомкнутой цепи.

В формуле знак “+” соответствует отрицательной обратной связи, “–“ соответствует положительной обратной связи.

Структурные схемы систем часто содержат параллельно включенные звенья, цепи, охваченные обратной связью, пересекающиеся связи, что затрудняет анализ работы системы, например, нахождение передаточных функций системы. Поэтому возникает необходимость приведения структурной схемы к одноконтурному виду.

Порядок приведения системы к одноконтурному виду следующий:

Путем переноса воздействий ликвидируются пересекающиеся связи. При переносе пользуются принципом суперпозиции и рассмотренными выше передаточными функциями последовательно и параллельно соединенных звеньев. В полученных таким образом эквивалентных схемах результат преобразования сигналов должен совпадать с результатом преобразования сигналов исходной схемой.

Пример переноса воздействия с входа звена на его выход:

Пример переноса воздействия с выхода звена на его вход:

Параллельно соединенные звенья заменяются эквивалентными звеньями с передаточными функциями вида (2.5).

Цепи, охваченные обратными связями, заменяются эквивалентными звеньями с передаточными функциями вида (2.6).

Правила преобразования структурных схем линейных систем

При преобразовании структурных схем возникает необходимость переноса сумматоров и узлов схем.

1. Перенос сумматора.

При переносе сумматора по ходу сигнала добавляется звено с передаточной функцией, равной передаточной функции звена, через которое переносится сумматор.

При переносе сумматора через звено против хода сигнала добавляется звено с передаточной функцией, равной обратной передаточной функции звена, через которое переносится сумматор.

F

Y

X

W₂

W₁

неэквивалентные участки

X

Y

W₁

W₂

W₂

F

При переносе сумматора возникают неэквивалентные участки цепи, поэтому нельзя переносить сумматор через точку съема сигнала.

Y

Y

F

F

X

X

W₁

W₂

W₂

W₁

2. Перенос узла.

При переносе узла по ходу сигнала добавляется звено с передаточной функцией, равной обратной передаточной функции звена, через которое переносится узел.

W₂

W₂

W₁

W₁

При переносе узла против хода сигнала добавляется звено с передаточной функцией, равной передаточной функции звена, через которое переносится узел.

W₁

W₁

W₁

W₂

W₂

2. Перестановка узлов. Узлы можно переставлять местами

X₁

X₂

X₂

X₁

4.Перестановка сумматоров

Сумматоры можно менять местами, но при этом участки между сумматорами не являются эквивалентными.

X₁

X₂

X

X₁

X₃

X₂

X

X₃

5. При переносе узла через сумматор добавляется сравнивающее звено.

X

X

X

X

F

F

Y

Y

6. При переносе сумматора через узел добавляется суммирующее звено

Y

Y

Y

Некоторые другие преобразования представлены в таблице 1.

Таблица 1

Исходная структура системы		Эквивалентная структура системы
U2(p) Y(p) U1(p) W(p) W(p) = Wф(p) Перенос точки суммирования сигналов с входа на выход Уравнение выходной координаты:		Wф(p) - фиктивная передаточная функция
П еренос точки суммирования сигналов с выхода на вход Уравнение выходной координаты:
П еренос точки съема с входа звена на его выход
U(p) Y(p) Y(p) Перенос точки съема сигнала с выход на входа звена.
Перестановка сумматоров
В ынос точки разветвления из встречно-параллельного соединения.

2.13 Передаточные функции систем автоматического регулирования

Общая структурная схема одномерной САР представлена на рисунке 2.65. На структурной схеме возмущающее воздействие F приведено к выходу системы.

Рисунок 2.65 ─ Общая структурная схема одномерной САР:

─ передаточная функция задатчика; ─ передаточная функция устройства, форми­рующего управляющее воздействие на объект; ─ передаточная функция объекта управления по управляющему воздействию; ─ передаточная функция цепи от места приложения возмущающего воздействия до выхода системы (передаточная функция объекта управления по возмущающему воздействию, если возмущающие воздействие приложено к объекту); ─ передаточная функция датчика; ─ управляющее (задающее) воздействие на систему; ─ сигнал задатчика; ─ сигнал датчика; ─ сигнал ошибки; ─ управляющее воздействие на объект; ─ реакция объекта на управляю­щее воздействие на объект; ─ реакция объекта на возмущающее воздействие; ─ регулируемая величина.

При исследовании систем необходимо определить, как изменяется регулируемая величина Y и ошибка при изменениях управляющего воздействия Y₃ и возмущающего воздействия F. Для этого пользуются четырьмя передаточными функциями. При получении этих передаточных функций следует иметь ввиду, что согласно принципу суперпозиции изменение регулируемой величины системы Y складывается из изменения регулируемой величины при изменении возмущающего воздействия Y на систему и изменения регулируемой величины при изменении возмущающего воздействия F. Аналогичным образом изменение ошибки системы складывается из изменения ошибки системы при изменении управляющего воздействия Y₃ на систему и изменения e_f ошибки системы при изменении возмущающего воздействия F. Поэтому при получении передаточных функций по управляющему воздействию принимают , а при получении передаточных функций по возмущающему воздействию принимают .

Перед нахождением передаточных функций структурную схему системы необходимо привести к одноконтурному виду.

1. Передаточная функция САР по управляющему воздействию определяет взаимосвязь между изменением регулируемой величины Y и изменением управляющего воздействия Y₃:

(2.7)

где – передаточная функция прямой цепи системы; – передаточная функция разомкнутой системы.

2. Передаточная функция САР по возмущающему воздействию определяет взаимосвязь между изменением регулируемой величиной Y и изменением возмущающего воздействия :

(2.8)

При выводе (2.8) исходную структурную схему для наглядности нужно преобразовать к виду, представленному на рисунке 2.66. При таком преобразовании учтено, что и поэтому звено можно исключить.

_{Рисунок 2.66}. Преобразованная структурная схема САР при условии _Y3=0

3. Передаточная функция САР для ошибки по управляющему воздействию определяет взаимосвязь между изменением ошибки и изменением задающего воздействия :

(2.9)

Коэффициенты передачи датчика и задатчика равны друг другу, поскольку и должны быть представлены в одном масштабе. Поэтому, если пренебречь инерционностью датчика и задатчика или считать их динамические свойства приблизительно одинаковыми, то и передаточная функция (2.8) приобретает вид:

(2.10)

Форма 2.13.4 особенно удобна для исследования статических ошибок, когда инерционность звеньев системы не имеет значения.

4. Передаточная функция САР для ошибки по возмущающему воздействию определяет взаимосвязь между изменением ошибки е и изменением возмущающего воздействия F:

(2.11)

2.14 Понятие об оценке качества регулирования

Качество регулирования оценивают тремя группами показателей.

Точность. Точность САР оценивают группой показателей, характеризующих отклонение регулируемой величины от заданного значения в установившихся режимах.

Устойчивость. Устойчивость характеризует способность системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после снятия воздействия, вызвавшего выход из установившегося режима.

Устойчивость оценивают специально разработанными критериями. Устойчивость также можно оценить по переходным процессам системы, полученным, например, путем моделирование на ЭВМ.

Неустойчивые системы неработоспособны.

Качество переходных процессов. Качество работы систем в переходных (неустановившихся) режимах оценивают группой показателей, характеризующих быстродействие системы, колебательность переходных процессов и отклонение регулируемой величины в неустановившихся режимах от заданного значения. Существуют также интегральные критерии, позволяющие оценить качество работы в среднем за время регулирования.

2.15 Оценка точности линейных сар

Предварительно дадим определение статического и астатического звена, статической и астатической системы.

Статическим звеном называют звено, не содержащее интегрирующих звеньев, последовательно соединенных со всеми другими звеньями, входящими в звено.

Статические звенья имеют статические характеристики.

Передаточная функция линейного статического звена имеет вид:

(2.12)

Астатическим звеном называют звено, содержащие интегрирующие звенья, последовательно соединенные со всеми другими звеньями, входящими в звено.

Передаточная функция линейного астатического звена имеет вид:

W_a3(p)

где k - степень астатизма звена (количество интегрирующих звеньев).

Статической системой называют систему в разомкнутом состоянии представляемую статическим звеном:

(2.13)

Астатической системой называют систему в разомкнутом состоянии представляемую астатическим звеном:

(2.14)

где _L – степень астатизма системы.

Опенка точности и статических режимах

В статических режимах точность оценивают статическими ошибками по управляющему e_y и возмущающему e_f воздействиям, которые находятся по передаточным функциям (2.10) и (2.11) с учетом вида передаточных функций разомкнутых систем (2.13) и (2.14).

Для статических систем получаем:

где – коэффициент передачи разомкнутой системы (для общего вида (2.12) ─ это k₀); k_f ─ коэффициент передачи звена W_f.

Случай, когда звено W_f является астатическим не рассматривается, поскольку ошибка превращается в бесконечность, система оказывается неработоспособной и не может быть в таком виде реализована.

Для астатических систем получаем:

при

при

Случай, когда не рассматривается, поскольку ошибка превращается в бесконечность, система оказывается неработоспособной и не может быть в таком виде реализована.

Оценка точности при гармонических воздействиях

Пусть управляющее воздействие или возмущающее воздействие на систему изменяются по гармоническому закону:

Тогда ошибка системы также будет меняться по гармоническому закону:

где и – амплитуды ошибок по управляющему и возмущающему воздействиям.

Амплитуды ошибок могут быть найдены как модули соответствующих передаточных функций (2.9), (2.11) для ошибок:

Для следящих систем важным показателем также является разность фаз между заданным и действительными значениями регулируемой величины:

Чем меньше тем лучше качество регулирования.

2.16 Устойчивость систем. Условия и критерии устойчивости линейных систем

Устойчивость ─ это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после снятия воздействия, вызвавшего выход из установившегося режима.

Выходная величина устойчивой системы остается ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине воздействий.

Неустойчивая система является неработоспособной, поэтому проверка устойчивости является обязательным этапом анализа системы, а обеспечение устойчивости – обязательным условием синтеза.

В общем случае, для нелинейных систем, их качество зависит от величины воздействий. Системы устойчивые при одних воздействиях могут быть неустойчивы при других воздействиях. В связи с этим существуют понятия устойчивости в малом, в большом и в целом (абсолютная устойчивость).

Устойчивость в малом – устойчивость при бесконечно малых отклонениях от исходного режима.

Устойчивость в большом – устойчивость при конечных отклонениях от исходного режима, возможных в данной системе по условиям работы.

Устойчивость в целом – устойчивость при неограниченных отклонениях.

В линейных системах таких градаций устойчивости не существует. Линейная система либо неустойчива, либо устойчива в целом. При этом будут устойчивы не только положения равновесия системы, но и любые вынужденные процессы.

Движение системы имеет две составляющие:

где – свободная составляющая движения, когда воздействия на систему отсутствуют; – вынужденная составляющая, установившегося движение системы при наличии воздействия.

Из определения устойчивости, следует, что у устойчивых, систем вынужденная составляющая затухает.

Рисунок 2.67 – Примеры реакций неустойчивых систем на импульсное (а) и ступенчатое (б) воздействия

Ниже приведены примеры реакции устойчивых и неустойчивых систем на импульсное и ступенчатое воздействия (рисунки 2.67 и 2.68).

Рисунок 2.68 – Примеры реакций устойчивых систем на импульсное (а) и ступенчатое (б) воздействия

Условие устойчивости линейных систем

Решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

где – постоянные интегрирования, определяющиеся начальными условиями и возмущением; p_i– корни характеристического уравнения.

Комплексным корням p_i соответствуют колебательные переходные процессы, действительным корням p_i соответствуют апериодические переходные процессы.

Для того чтобы свободная составляющая затухала (система была устойчива), действительные части всех корней p_i должны быть отрицательны. Если хотя бы один из корней имеет действительную положительную часть, то система неустойчива. Если все корни p_i, мнимые, то система находится на границе устойчивости.

Изобразим корни на комплексной плоскости и получим следующее правило. Устойчивой системе соответствуют левые корни характеристического уравнения, неустойчивой – правые.

Поскольку решение уравнений высокого порядка сопряжено с определенными трудностями, то анализ устойчивости линейных систем проводится по алгебраическим и частотным критериям. Наиболее часто используют алгебраический критерий Гурвица и частотный критерий Найквиста.

2.16.1 Анализ устойчивости системы по критерию Гурвица

Передаточная функция линейной САР в общем случае имеет вид:

где

Полином , находящийся в знаменателе передаточной функции, называется характеристическим полиномом системы, поскольку он определяет характер свободного движения системы. Уравнение называется характеристическим уравнением системы.

Устойчивость по критерию Гурвица проверяется следующим образом.

Из коэффициентов характеристического уравнения

составляется определитель (матрица Гурвица) по следующему правилу.

По главной диагонали последовательно записываются коэффициентов характеристического уравнения, начиная с . Сверху от элементов главной диагонали в каждом столбце записываются коэффициенты характеристического уравнения с последовательно возрастающими, а снизу с последовательно убывающими индексами. На месте коэффициентов с индексами большими или меньшими записываются нули. Полученный определитель содержит строк и столбцов:

Далее составляются диагональные миноры определителя Гурвица:

и т.д.

Критерий Гурвица формулируется следующим образом.

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы при все диагональные миноры определителя Гурвица были положительными.

Для характеристических уравнений первой и второй степеней условия устойчивости сводятся к требованию положительности всех коэффициентов.

Для систем выше второго порядка кроме положительности всех коэффициентов характеристического уравнения необходимо выполнение следующих неравенств:

1.Для систем третьего порядка: .

2.Для систем четвертого порядка: .

3.Для систем пятого порядка: .

.

4.Для систем шестого порядка:

.

.

Пример: Дано характеристическое уравнение

.

Находим устойчивость системы по критерию Гурвица .

=

Для устойчивости системы необходимо чтобы и

2.16.2 Анализ устойчивости системы по критерию Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста основан на использовании амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) разомкнутой системы.

Для расчета частотных характеристик разомкнутых систем пользуются частотными передаточными функциями разомкнутых систем.

Строится график АФЧХ в координатах и . Для этого рассчитываются и или и при изменении частоты от до . Длина вектора, соединяющего начало координат с графиком АФЧХ равна значению при частоте , а угол поворота от оси равен при частоте .

Формулировка критерия найквиста

1. Если система в разомкнутом состоянии устойчива (рисунок 2.69), то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от нуля до бесконечности не охватывала точку с координатами (-1;j0).

2. Если система в разомкнутом состоянии находится на границе устойчивости (является астатической), то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно (рисунок 2.70), чтобы АФЧХ разомкнутой системы, дополненная дугой бесконечно большого радиуса против часовой стрелки до действительной полуоси, не охватывала точку с координатами (-1;j0).

3. Если система в разомкнутом состоянии неустойчива, то для устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку с координатами (-1;j0) в положительном направлении k/2 раз, где k – число корней характеристического уравнения с положительной действительной частью.

Разомкнутая система устойчива, если устойчивы все отдельные звенья системы после приведения ее структурной схемы к одноконтурному виду. Устойчивость отдельных звеньев определяют по любому из критериев устойчивости, например, критерию Гурвица.

АФЧХ разомкнутой системы (рисунок 2.69) не охватывает точку с координатами , поэтому замкнутая система устойчива.

Рисунок 2.69 – Пример АФЧХ устойчивой разомкнутой системы

0

Рисунок 2.70 ─ Пример АФЧХ разомкнутой системы с астатизмом 1─го порядка, находящейся на границе устойчивости: 1─ замкнутая система устойчива; 2─ замкнутая система неустойчива; 3─ замкнутая система находится на границе устойчивости.

2.16.3 Определение запасов устойчивости

При оценке устойчивости систем одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо также оценивать величину запаса устойчивости, т.е. степени удаленности системы от границы устойчивости. Система, которая теоретически является устойчивой, но находится очень близко к границе устойчивости, при её реализации может оказаться неустойчивой вследствие неточности математического описания системы, из-за изменения во времени параметров системы в процессе ее эксплуатации и др.

Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из критерия Найквиста две величины – запас устойчивости по фазе ∆φ и запас устойчивости по амплитуде ∆A.

Запас устойчивости по фазе определяется величиной ∆φ, на которую должно возрасти запаздывание по фазе, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной ∆A допустимого увеличения АЧХ, при котором система окажется на границе устойчивости. Таким образом, запас по амплитуде представляет собой запас по коэффициенту передачи разомкнутой системы по отношению к его критическому по устойчивости значению. Величины ∆φ и ∆A показаны на рисунке 2.69.

Для определения ∆φ проводится дуга радиусом равным 1 до пересечения с АФЧХ.

При проектировании САУ рекомендуется выбирать ∆φ>30̊ и ∆A>0.7.

2.17 Оценка качества переходных процессов

Существуют прямой метод оценки качества переходных процессов, интегральные методы, корневые и частотные методы.

2.17.1 Прямой метод

Исчерпывающее представление о качестве переходного процесса дает, естественно, сама кривая переходного процесс Y(t). В настоящее время переходный процесс даже очень сложной системы можно получить путем моделирования на ЭВМ. Поэтому значение прямого метода существенно возросло.

Качество переходных процессов обычно оценивают при ступенчатых воздействиях. Для линейных систем – по переходной функции.

Рассмотрим основные показатели качества при их оценке по переходной функции (рисунок 2.71).

0

Рисунок 2.71 ─ Пример переходной функции САР по управляющему воздействию

1. Отклонение регулируемой величины от своего установившегося значения характеризуется следующими показателями.

Для переходной функции по управляющему воздействию определяется перерегулирование:

где Y_max.1 ─ максимальное значение регулируемой величины в переходном процессе; Y_уст– установившееся значение регулируемой величины.

Если нет специальных требований к системе, то нормальным считается перерегулирование σ<30%. Перерегулирование характеризует запас устойчивости системы. При σ<30% в большинстве случаев запас устойчивости достаточен.

_{Для переходных процессов по возмущающему воздействию определяется максимальное отклонение регулируемо}й величины от установившегося значения, приходящееся на единицу возмущающего воздействия F(t):

2. Быстродействие системы оценивается временем регулирования. Время регулирования t_рег определяется как интервал времени от начала переходной функции до момента, когда отклонение регулируемой величины от ее нового установившегося значения становится меньше определенной достаточно малой величины _∆:

Обычно в качестве _∆ берут от 1% до 5% от нового установившегося значения регулируемой величины для переходной функции по управляющему воздействию, или от 1% до 5% от максимального отклонения регулируемое величины для переходной функции по возмущающему воздействию.

3. Колебательность переходного процесса определяется числом N перерегулирований для переходной функции по управляющему воздействию или числом колебаний N для переходной функции по возмущающему воздействию за время переходного процесса.

Дня рассматриваемого примера N=1.

Обычно приемлемым числом колебаний считается N<2…3

Колебательность также оценивается отношением соседних отклонений регулируемой величины от установившегося значения:

_.

Эта величина так и называется колебательностью. Чем меньше колебательность, тем лучше считается качество управления.

Иногда колебательность оценивается декрементом затухания . Применяются и другие оценки декремента затухания, на­пример, отношение соседних отклонений от Y_уст.

Перерегулирование и максимальное отклонение регулируемой величины от установившегося значения также служат оценкой колебательности.

4. По переходным функциям может быть определена и статическая ошибка системы по управляющему и возмущающему воздействиям:

,

где Y₃ ─ заданное значение регулируемой величины (для нашего примера Y₃=1 для переходной функции по управляющему воздействию, Y₃=0 для переходной функции по возмущающему воздействию).

Статическая ошибка характеризует точность системы, но не качество переходных процессов. Здесь ее определение упомянуто в связи с рассмотрением прямого метода оценки качества регулирования.

2.17.2 Интегральные критерии качества переходных процессов

Интегральные критерии позволяют оценивать качество переходных процессов в среднем от начала до его окончания (теоретически до времени равном бесконечности).

Наиболее часто используют следующие интегральные критерии:

,

,

,

где отклонение регулируемой величины от нового установившегося значения.

Смысл применения этих критериев заключается в следующем.

При изменении управляющего воздействия на систему идеальный переходный процесс должен мгновенно повторять изменение управляющего воздействия (для статических систем – с некоторой статической ошибкой). При изменении возмущающего воздействия в идеальной системе переходный процесс должен отсутствовать (для статических систем – с некоторой статической ошибкой). Например, при ступенчатом воздействии идеальная система должна мгновенно перейти в новое установившиеся состояние

Рисунок 2.72 – Переходные процессы при изменении управляющего воздействия на систему: 1– идеальный; 2 и 3 – реальные

. На практике такой мгновенный переход невозможен из-за инерционности системы и переходные процессы имеют вид, представленный на рисунках 2.72 и 2.73.

Рисунок 2.73 – Переходные процессы при изменении возмущающего воздействия: 1– установйвшиеся значение; 2 и 3 – реальные переходные процессы

Очевидно, что близость переходник процессов к идеальному можно характеризовать площадью, ограниченной идеальным и реальным переходными процессами. На рисунках 2.72 и 2.73 для процессов вида 2 эта площадь заштрихована. Критерий представляет собой эти площади, но может быть применен только в тех случаях, когда заведомо известно, что переходные процессы монотонные (имеют вид 3) поскольку в случае колебательных процессов площади разного знака вычитаются друг из дру­га, Это обстоятельство ограничивает применение критерия .

Наиболее часто используют квадратичный интегральный критерий качества переходных процессов . Недостатком этого критерия является то, что при выборе параметров систем по этому критерию переходные процессы обычно обладают большой колебательностью и перерегулирова­нием. Поэтому в тех случаях, когда такой переходный процесс неприем­лем, используют интегральный критерии .

Разницу между критериями и можно пояснить следующим образом. В случае использования идеальным переходным процессом, при стремлении к которому является ступенька с высотой (рисунок 2.72). В случае же использования критерия идеальным переход­ным процессом, к которому стремятся, минимизирую , является экспонента . Поэтому переходный процесс системы, параметры ко­торой выбраны по критерию , будет более медленным, но с меньшей колебательностью. При этом замедление процесса тем больше, чем больше взята величина .

Существуют готовые зависимости, выражающие вышеприведенные критерии через коэффициенты передаточной функции системы. Это позволяет использовать их при синтезе систем.

С появлением ЭВМ интегральные критерии начади применять для выбора оптимальных параметров настройки систем регулирования путем моделирования на ЭВМ. При моделировании оценки интегральных критериев могут быть непосредственно вычислены, а параметры системы подобраны экспериментально в процессе моделирования. Это обстоятельство существенно облегчило процесс выбора оптимальных параметров. Наиболее часто при моделировании используют критерий . Причем, при синтезе путем моделировании на ЭВМ недостаток критерия легко уст­раняется введением ограничений, например на перерегулирование: . Критерий более сложен в применении и при моделировании его не используют.

Кроме интегральных методов широкое применение нашли корневые и частотные критерии качества переходных процессов.

Частотные критерии позволяют судить о качестве переходных процессов по частотным характеристикам системы. Корневые критерии позволяют судить о качестве переходных процессов по значениям полюсов и нулей передаточной функции системы. Изучить эти вопросы можно по литературе, посвященной теории автоматического управления и регулирования.

2.18 Законы регулирования. Свойства систем с типовыми линейными законами регулирования

Законом регулирования называют математическую зависимость, в соответствии с которой управляющее воздействие на объект формировалось бы безынерционным регулятором в функции от ошибки системы.

Наиболее часто используют следующие линейные законы регулирования, которые иногда называют типовыми линейными законами регулирования.

Пропорциональный (П-закон), когда управляющее воздействие на объект формируется пропорционально ошибке :

,

где W_ф(p) – передаточная функция безынерционного регулятора; K_p – коэффициент передачи регулятора.

Интегральный закон (И-закон), когда управляющее воздействие на объект формируется пропорционально интегралу ошибки:

где – постоянная интегрирования.

Пропорционально - интегральный закон (ПИ - закон), когда управляющее воздействие на объект формируется пропорционально ошибке и пропорционально интегралу ошибки:

Пропорционально – дифференциальный закон (ПД - закон), когда управляющее воздействие на объект формируется пропорционально ошибке и пропорционально производной ошибке:

где – постоянная дифференцирования.

Пропорционально - интегрально - дифференциальный закон (ПИД - закон), когда управляющее воздействие на объект формируется пропорционально ошибке, пропорционально интегралу ошибки и пропорционально – производной ошибки:

П-закон обеспечивает хорошее быстродействие, но при статическом объекте управления система работает со статической ошибкой.

И-закон позволяет избавиться от статической ошибки по управляющему воздействию и, при статическом объекте, от статической ошибки по возмущающему воздействию, но быстродействие системы невысокое.

ПИ–закон сочетает положительные свойства систем с П-законом и И-законом, поэтому он обеспечивает хорошее быстродействие и отсутствие статических ошибок.

Введение регулирования по производной в ПД-законе, подавляет колебательность, повышает устойчивость, однако не позволяет избавится полностью от статических ошибок.

ПИД-закон сочетает положительные свойства, обеспечиваемые выше рассмотренными законами. Системы с ПИД-законом, по сравнению с системами с другими типовыми законами, обладают повышенным быстродействием, меньшей колебательностью и отсутствием статических ошибок.

Динамические свойства системы при изменений коэффициента передачи регулятора и постоянной интегрирования изменяются следующим образом (рисунок 2.74).

При увеличении коэффициента быстродействие системы сначала увеличивается, затем уменьшается за счет увеличения колебательности. Колебательность и перерегулирование увеличиваются с увеличением . При больших система становится неустойчивой.

Такой же характер носит изменение динамических качеств системы при увеличении коэффициента передачи (уменьшение постоянной интегрирования ).

Значение и , при которых начинается уменьшение быстродействия, а затем система становится неустойчивой зависит от динамических свойств системы в целом.

Введение дифференциальной составляющей в закон регулирования позволяет подавить колебательность и, следовательно, увеличить допустимые значения и , увеличить быстродействие. Для систем с ПД-законом дифференциальная составляющая позволяет снизить статическую ошибку за счет увеличения допустимых значений по перерегулированию, колебательности и запасу устойчивости. Однако чрезмерное увеличение постоянной дифференцирования приводит к снижению быстродействия.

К_р1<К_р2<К_р3

Т_И1>Т_И2>Т_И3

0

Рисунок 2.75 – Переходные процессы системы с различными коэффициентами передачи и постоянными интегрирования

Таким образом, задача синтеза системы автоматического регулирования с заданными показателями качества может быть решена путем выбора закона регулирования и подбора коэффициента передачи и постоянных интегрирования и дифференцирования и , например путем моделирования на ЭВМ.

2.19 Особенности нелинейных систем

Нелинейной называется система, которая содержит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением.

Нелинейным называется звено, описываемое нелинейным алгебраическим или дифференциальным уравнением.

Нелинейные звенья подразделяются на статические (безынерционные) и динамические. Статическое нелинейное звено описывается алгебраическим уравнением , т.е. полностью определяется своей нелинейной статической характеристикой.

Динамическое звено описывается нелинейным дифференциальным уравнением

.

Причиной нелинейности динамических характеристик звена является нелинейные операции над производными в математическом описании какого-либо устройства системы.

Различают звенья являющиеся существенно и несущественно нелинейными.

Несущественно нелинейными звеньями называют звенья, имеющие непрерывно – дифференцируемые (гладкие) характеристики (непрерывную производную ).

Для звеньев несущественно нелинейных можно применять методы линейной теории, ограничившись рассмотрением малых отклонения от установившегося режима, линеаризовав нелинейную характеристику в области этих отклонений (см.п.2.7).

Существенно нелинейные звенья имеют ярко выраженную нелинейность характеристики, которая не является непрерывно дифференцируемой. Однако создание большого класса систем связано с необходимостью использовать существенно нелинейные элементы в объектах и управляющих устройствах. Эти системы требуют специальных методов исследования.

Выделяют ряд типовых нелинейных звеньев, которыми могут быть описаны очень многие физические элементы систем автоматики.

Основные типовые нелинейные звенья следующие.

1. Звено типа зона нечувствительности (рисунок 2.75а).

Такой характеристикой обладают многие датчики, а также ряд схем электронных, магнитных, пневматических и гидравлических усилителей в области малых входных сигналов. Характеристика реального элемента на рисунке 2.76 а показана штриховой пинией. Характеристика типового звена описывается уравнениями:

2. Звено типа зона ограничение (рисунок 2.75 б).

Подобными характеристиками обладают практически все реальные усилители (электронные, магнитные, пневматические, гидравлические), ограниченные по выходной мощности в области больших входных сигналов. Характеристика реального элемента на (рисунке 2.75 б) показана штриховой линией. Характеристика данного типового звена описывается уравнениями:

3. Звено типа ограничение с зоной нечувствительности (рисунок 2.75в).

Эта характеристики объединяет две предыдущие и описывается уравнениями:

4. Звено типа двухпозиционное реле с зоной неоднозначности (гистерезисом) (рисунок 2.75г).

Характеристика двухзначна в области петли гистерезиса. На этом участке значение выходной величины зависит от предшествующего состояния элемента. Подобными характеристиками обладают электромагнитные промежуточные реле, электронные реле и промышленные двухпозиционные регуляторы. Величина 2а называется шириной зоны неоднозначности.

5. Звено тина двухпозиционное реле без зоны неоднозначности (или идеальное двухпозиционное реле) (рисунок 2.75д).

Характеристика этого звена является предельным случаем предыдущей при отсутствии гистерезиса и описывается уравнением:

6. Звено типа трехпозиционное реле с зонами неоднозначности d (рисунок 2.75е).

Такой характеристикой обладают трехпозиционное поляризованные реле, некоторые гидравлические распределители, промышленные трехпозиционные регуляторы. Величину 2а называют зоной нечувствительности, d называют также дифференциалами.

7. Звено типа трехпозиционное реле без зон неоднозначности (или идеальное трехпозиционное реле) (рисунок 2.75ж).

Характеристика этого звена является предельным случаем предыдущей при отсутствии (или пренебрежении) зонами неоднозначности и описывается уравнениями:

8. Звено типа люфт (зазор) (рисунок 2.75з).

Наиболее часто встречающаяся нелинейность в механических системах, связанная с наличием зазоров в передачах. Зависимость между положениями X ведущего и Z ведомого элементов многозначна. Каждому положению ведомого элемента соответствует множество положений ведущего элемента, в пределах зоны люфта.

Характеристики реальных элементов могут быть смещены относительно начала координат, однако это не влияет на их принадлежность к соответствующим типовым звеньям.

Рисунок 2.76 – Характеристики типовых нелинейных звеньев

Динамические процессы нелинейной системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Динамические свойства нелинейных систем разнообразнее, чем линейных. В них возможны незатухающие колебания, называемые автоколебаниями, условия движения и его характер зависят от начальных условий и внешних возмущений.

В нелинейных системах возможна устойчивость в малом, в большом и в целом. Структурные схемы нелинейных систем как правило содержат нелинейные и линейные звенья.

Для исследования нелинейных систем разработаны методы, позволяющие в каждом частном случае оценить поведение системы. К таким методам, например, относятся метод фазовой плоскости, метод гармонической линеаризации, метод “припасовывания” граничных значений, методы исследования устойчивости A.M.Лапунова, В.М.Попова и другие методы.

К настоящему времени имеются специальные программы для персональных цифровых ПЭВМ, позволяющие моделировать нелинейные системы на основе моделей отдельных нелинейных звеньев непосредственно по структурной схеме системы. Это обстоятельство существенно упростило исследования нелинейных систем, расширило возможности их анализа и синтеза без существенного упрощения исходного математического описания. Методы, основанные на моделировании, начали постепенно вытеснить традиционные теоретические методы исследования нелинейных и линейных систем (см. п. 2.24).

2.20 Понятие о дискретных системах автоматического управления и их классификация по виду дискретизации (квантования) сигнала

В рассмотренных ранее непрерывных системах сигналы, несущие информацию о состоянии переменных системы представляют собой непрерывные функции времени. Помимо непрерывных способов передачи и преобразования сигналов широко применяются дискретные способы, в которых используется в том или ином виде дискретизация сигнала.

Дискретизация сигнала состоит в замене непрерывного сигнала теми или иными дискретными значениями и может быть осуществлена по уровню, по времени, либо по времени и по уровню.

Дискретизация сигнала по уровню, или квантование по уровню, соответствует выделению значений сигнала при достижения им заранее фиксированных уровней.

Дискретизация сигнала по времени, или квантование по времени, соответствует выделению значений сигнала в заранее фиксированные моменты времени.

Дискретизация сигнала по временя и по уровню соответствует выделению в заранее фиксированные моменты времени значений сигнала, бли­жайших к заранее фиксированным уровням.

В зависимости от типа квантования, которое используется в автоматических системах, они подразделяются на 3 вида.

Релейные системы – если хотя бы одна из величин, характери­зующих состояние системы, квантуется по уровню.

Импульсные системы – если хотя бы одна из величин, характеризующих состояние системы, квантуется по времени.

Цифровые системы – если хотя бы одна из величин, характеризующих состояние системы, квантуется и по времени и по уровню.

Существуют системы, в которых используется два и три вида дискретизации сигналов.

2.21 Позиционные системы автоматического регулирования

Позиционной называют систему, в которой управляющее воздействие на объект ступенчато изменяется в зависимости от уровня ошибки.

Соответственно, позиционным законом регулирования называют закон регулирования, когда управляющее воздействие на объект принимает ряд постоянных дискретных значений (изменяется ступенчато) в зависимости от ошибки системы.

Позиционные системы относятся к наиболее простым и распространенным релейным системам.

Двухпозиционной САР называется система, в которой управляющее воздействие на объект приобретает 2 значения.

Трехпозиционной САР называется система, в которой управляющее воздействие на объект приобретает 3 значения.

Существуют также 4-х позиционные системы и т.д.

Примерами позиционных систем являются системы регулирования температуры в холодильнике, температуры подошвы утюга. Эти системы являются двухпозиционными, поскольку управляющее воздействие на объект принимает, 2 значения. Например, при пониженной температуре подошвы утюга питание нагревательного элемента включается, при повышенной температуре– выключается.

В народном хозяйстве позиционное регулирование применяется в системах регулирования микроклимата помещений, температуры теплоносителя систем отопления и т.д.

Процесс нагрева и охлаждения воздуха в помещении повторяется и в помещении устанавливается режим периодического нагрева и охлаждения.

Такие установившиеся режимы работы называют автоколебательными. Автоколебательные режимы часто возникают в нелинейных системах, В частности они характерны для позиционных систем. На рисунке 2.76 изображен процесс регулирования температуры в помещении после включения системы.

Рисунок 2.76 – Процесс регулирования температуры в помещении, обеспечиваемый двухпозиционной системой

Размах автоколебаний больше ширины зоны неоднозначности 2а, что обусловлено инерционностью датчика и объекта управления. В нашем примере за счет инерционности датчика сигнал ошибки отстает от температуры в помещении. Кроме того снижение (повышение) температуры начинается не сразу, а после того как нагревательный элемент несколько охладится (нагреется).

При увеличении возмущающего воздействия (в нашем случае температуры наружного воздуха) автоколебания несколько смещаются вверх, при снижении – вниз.

Показателями качества регулирования для двухпозиционных систем являются отклонение регулируемой величина от заданного значения (в нашем случае от заданной температуры ) и частота автоколебаний. Быстродействие системы определяется временем установления автоколебаний.

Параметрами настройки регулятора являются заданное значение регулируемой величины (в нашем случае ) и ширина зоны неоднозначности 2а.

Исследование режимов работы позиционных, систем проводится методами припасовывания, гармонического баланса и фазовой плоскости. Наиболее точным, удобным н наименее трудоемким методом исследования является моделирование на ЭВМ. В процессе таких исследований и определяются параметры настройки регулятора.

2.22 Импульсные системы

Импульсными называют системы, в которых хотя бы одна из величин, характеризующих состояния системы, квантуется по времени.

Импульсные САУ содержат в своем составе один или несколько импульсных элементов (ИЭ) и непрерывную часть (НЧ). Функциональная схема импульсной системы может иметь, например, вид представленный на рисунке 2.80.

Рисунок 2.77 ─ Функциональная схема импульсной системы

Преобразование непрерывного сигнала в импульсный сигнал называется модуляций.

Существуют три вида импульсной модуляции: амплитудно-импульсная модуляция (АИМ), широтно-импульсная модуляция (ШИМ) и время – импульсная модуляция (ВИМ). Время –импульсная модуляция, в свою очередь, подразделяется на фазоимпульсную модуляцию (ФИМ) и частотно – импульсную модуляцию (ЧИМ).

При амплитудно-импульсной модуляции амплитуда (высота) А импульсов изменяется в зависимости от изменения входного непрерывного сигнала X, период Т следования импульсов и их длительность остаются неизменными (рисунок 2.78) .

При широтно-импульсной модуляции длительность следования импульсов изменяется в зависимости от изменения входного непрерывного сигнала X, период Т следования импульсов и их ξ амплитуда (высота) А остаются неизменными (рисунок 2.79).

Рисунок 2.78 ─ Амплитудно-импульсная модуляция: X -входной непрерывный сигнал; Y – выходной импульсный сигнал

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T t

_τ=f(x)

T=const

A=const

X

Y

A

T _τ

Рисунок 2.79 – Широтно-импульсная модуляция: X –входной непрерывный сигнал; Y – выходной импульсный сигнал

При фазоимпульсной модуляции сдвиг по времени (по фазе) импульсов относительно моментов времени квантования 0, Т, 2Т, 3Т.., изменяется в зависимости от изменения входного непрерывного сигнала X период Т следования импульсов, а их длительность и амплитуда (высота) А остаются неизменными (рисунок 2.80).

При частотно-импульсной модуляции частота следования а (пе­риод Т) импульсов изменяются в зависимости от изменения; входного непрерывного сигнала X, а длительность импульсов и их амплитуда (высота) А остаются неизменными (рисунок 2.81).

T 2T 3T 4T 5T t

α=f(x)

T=const

A=const

τ=const

X

Y T τ

α

A

x

y

Рисунок 2.80 – Фазоимпульсная модуляция: X – входной непрерывный сигнал; Y – выходной импульсный сигнал

t

ω=f(x) или T=const

A=const

τ=const

X

Y τ

A

x

y

Рисунок 2.81 – Частотно – импульсная модуляция: X – входное непрерывный сигнал; Y– выходной импульсный сигнал

В системы автоматического управления и регулирования импульсные элементы вводятся для повышения надежности, точности, помехозащищенности, упрощения систем, управления скоростью механизмов постоянной скорости путем импульсного прерывания сигнала, управляющего движением исполнительного механизма и т.д.

Импульсные элементы легко сопрягаются с цифровыми устройствами. Кроме того, импульсные элементы вводятся в системы автоматического регулирования с объектами управления, обладающими большим транспортным запаздыванием для прерывания изменения управляющего воздействия на объект, что существенно улучшает динамические качества таких систем.

2.23 Цифровые системы

Цифровыми называют системы, в которых хотя бы одна из величин, характеризующих, состояние системы, квантуется по времени и уровню.

В цифровых вычислительных устройствах информация о переменных представлена и обрабатывается в виде цифрового двоичного кода.

Для преобразования присутствующих в системе нецифровых (аналоговых) сигналов в цифровой код систему снабжают специальными устрой­ствами, которые называют аналого-цифровыми преобразователями (АЦП). Для преобразования цифрового кода в аналоговый сигнал систему снабжают специальными устройствами, которые называют цифро-аналоговыми преобразователями (ЦАП).

Пример функциональной системы цифровой системы автоматического регулирования показан на рисунке 2.82.

Рисунок 2.82 – Пример функциональной схемы цифровой системы автоматического регулирования: и – цифровые сигналы; – исполнительное устройство; – объект управления; – датчик; – цифровое вычислительное устройство

В рассматриваемом примере на АЦП поступает аналоговый сигнал датчика. Этот сигнал преобразуется АЦП в цифровой сигнал . Закон регулирования формируется в ЦВУ в виде цифрового сигнала и затем преобразуется ЦАП в аналоговый сигнал, управляющий исполнительным устройством ИУ. Заданное значение , управляемой величины вводится в ЦВУ в виде цифрового кода.

В системах могут применяться цифровые датчики, тогда сигнал с датчика непосредственно вводится в ЦВУ. Управляющее воздействие ,может вводиться с аналогового задатчика, тогда сигнал вводится в ЦВУ через АЦП.

Функционально цифровую систему делят на цифровую часть (ЦЧ) и непрерывную часть (НЧ). Непрерывная часть - название весьма условное, поскольку сигналы там могут носить как: непрерывный так и релейный и импульсный характер.

Преобразование аналогового сигнала в цифровой является дискретизацией сигнала по времени и уровню (рисунок 2.83).

T=const

∆У=const

Рисунок 2.83 – Дискретизация сигнала по времени и уровню: X – входной непрерывный сигнал; У – уровень выходного цифрового сигнала

Дискретизация проводится через равные промежутки времени Т, которые называют периодом дискретизации или квантования сигнала по времени. В моменты времени Т, 2Т, 3Т... формируется дискретный сигнал с уровнем наиболее близким к значению непрерывного сигнала X в эти моменты времени.

Уровень представляется в виде двоичного кода и остается постоянным на протяжении последующего периода Т. Шаг дискретизации по уровню является постоянным.

Современные цифровые управляющие устройства –контроллеры снабжены 8 .... 16 разрядными АЦП. Количество уровней дискретизации составляет где - разрядность АЦП. Следовательно, количество уровней дискретизации может составить от 255 до 65535. Это обстоятельство, в большинстве случаев позволяет пренебречь дискретизацией по уровню при исследований цифровых систем управления.

Период дискретизации составляет время никла обработки информации где - время выборки (чтения данных АЦП); - время выполнения вычисленной ЦВУ для формирования закона, управления; - время вывода ЦАП вычисленного сигнала на последующие устройства. В современных контроллерах Т составляет от миллисекунд и менее до десятых долей секунды, что позволяет, в большинстве случаев, пренебречь дискретизацией сигнала по времени. Это значит, что в большинстве случаев, можно считать, что алгоритм управления формируется контроллером мгновенно и без искажений. При сложных алгоритмах управления, если время расчета влияет на результат управления, его можно учесть последовательным включением после цифрового управляющего устройства звена чистого запаздывания .

Для обоснования возможности пренебречь дискретизацией сигнала по времени можно использовать импульсную теорему, сформулированную и доказанную В.А. Котельниковым. В соответствии с этой теоремой, если сигнал не содержит частот выше чем , он полностью описывается (без искажения спектра) своими значениями, измеряемыми в дискретные моменты времени .

Сигналов с ограниченным спектром физически не существует. Однако реальные объекты обладают инерцией и существенно ослабляют высокочастотные составляющие (являются фильтрами нижних частот). Поэтому, имея амплитудно-частотную характеристику непрерывной части системы, можно определить частоты гармонических составляющих сигнала, проходящего через непрерывную часть, которые существенно ослабляются и практически не влияют на работу системы.

Обычно исследуют АЧХ объекта управления или объекта с исполнительным устройством. Частоту, при которой (АЧХ) становится меньше 0,02 ... 0,05 принимают равной (рисунок 2.87). Частоту обычно называют верхней граничной частотой.

Рисунок 2.84 – К определению верхней граничной частоты

Теоретические методы исследования цифровых систем изложены, например, в учебной литературе по автоматическому управлению и регулированию.

Как было упомянуто выше, контроллером называют цифровое управление устройство. Название произошло от английского слова control – управлять, суффикс er образует существительное controler– управляющий.

Контроллеры, предназначенные для формирования законов регулирования, иногда называют цифровыми регуляторами.

Современные контроллеры реализуют на базе микропроцессоров и иногда называют микропроцессорными контроллерами или микроконтроллерами.

Цифровые управляющие устройства могут быть построены на основе программной и аппаратурной реализации. В случае аппаратурной реализации преобразование входных данных в сигнал управления осуществляется по алгоритму, зависящему от электрических соединений между элементами цифрового устройства. В случае программной реализации преобразование входных данных в сигнал управления осуществляется путей вычисления по программе, записанной в память цифрового вычислительного устройства.

Аппаратная реализация обладает более высоким быстродействием. Недостатком является отсутствие гибкости системы. Преимущество программой реализации - гибкость устройства управления, выражающаяся в возможности изменять алгоритм управления программным путем, не из­меняя электрической схемы устройств. Недостаток - меньше быстродействие, поскольку врем» обработки информации зависит от времени выпол­нения команд программы.

К настоящему времени контроллеры нашли широчайшее применение при создании всех видов систем автоматизации, начиная с простых систем управление бытовой техникой и до систем управляющих целыми производствами.

2.24 Понятие о применении моделировании на эвм для анализа и синтеза систем автоматического управления

Существует множество видов моделирования. В нашем случае рассматриваются виды моделирования, применяемые для решения технических задач. Соответственно и все понятия даются применительно к этим видам моделирования.

Моделирование – это процесс создании моделей, адекватно отражающих необходимые (в соответствии с поставленной задачей) свойства объектов, и исследование этих моделей с целью поиска эффективных решений для этих объектов.

Исследования проводиться на основе натурных, физических и математических моделей. Соответственно различают натурное, физическое и математическое моделирование.

Натурное моделирование проводится с использованием различных узлов, механизмов, машин, систем и т.д. Примерами натурного моделирования: являются различные испытания и исследование, проводимые с экспериментальными иди выпускаемыми узлами, механизмами, машинами. Примером натурного моделирования является экспериментальный поиск параметров настройки регуляторов реализованных систем и их испытания.

Физическое моделирование проводится с моделями объектов, построенными, на принципах физического подбора, например, с моделями, имитирующими форму объектов в натуральном или уменьшенном масштабе. В соответствующем масштабе имитируются и воздействия на объект.

Трудоемкость, большая стоимость и зачастую невозможность натурного и физического моделирования некоторых объектов и процессов (например, в экстремальных ситуациях) привело к развитию и широкому использованию методов математического моделирования.

Ограниченные возможности аналитического математического аппарата не позволяет точно исследовать сложные динамические системы, какими являются системы автоматического управления.

Появление быстродействующих цифровых ЭВМ (ЦЭВМ) позволило использовать давно известные, но не находившие широкого применения из-за большого объема вычислительных работ, численные методы интегрирования, дифференцирования и решения дифференциальных уравнений для моделирования систем на ЦЭВМ. Такое моделирование называют цифровым. В настоящее время широкое распространение получили специальные программы для моделирования систем автоматического управления на персональных ЭВМ, позволяющие составлять алгоритмы моделирования из готовых блоков, описывающих звенья систем и воздействия.

Тем не менее, полезно познакомится хотя бы с одним простейшим методом численного решения дифференциальных уравнений для понимания принципов составления алгоритмов цифрового моделирования. Для такого знакомства мы выбрали метод Эйлера.

Выбор обусловлен тем, что метод Эйлера прост и нагляден, а многие другие методы являются его развитием. Кроме того, возможность использования при моделировании на современных ПЭВМ малых шагов решения делает этот метод достаточно точным, а составление программ упрощается.

Пусть объект описывается дифференциальным уравнением 1-го порядка:

Метод Эйлера состоит в замене производной приближенным разностным отношением:

Тогда

Зададимся временем начала решения (обычно ), начальным условием , шагом решения . Тогда для моментов времени , можно найти:

где

Точность решения дифференциальных уравнений численными методами зависят от выбранного шага . Для повышения точности моделиро­вания методом Эйлера в раз требуется уменьшить шаг в раз.

Из этого следует, что если выбрать шаг решения и ошибка при этом для момента времени , составляет , затем уменьшить шаг в раз, то ошибка в момент составит

где и – решения с шагами и ; – точное значение в момент времени .

Поскольку и – это результат моделирования для одного и того же момента времени, то их разность для достаточно больших приблизительно составит ошибку моделирования с большим шагом:

Очевидно, что если принять , то погрешность можно оценить с достаточной на практике точностью.

Например, если уменьшить шаг в 10 раз, то:

Начиная моделирование, выбираем шаг на основании личного опы­та, исходя из динамических свойств объекта. Проводим моделирование с выбранным шагом. Затем уменьшаем шаг в раз и проводим моделирование. Разность ординат процессов приблизительно составляет погрешность моделирования. Если погрешность больше, чем это необходимо, то уменьшаем шаг решения и снова проводим оценку погрешности.

Если объект описывается уравнением выше первого порядка, то его уравнение необходимо привести к системе уравнений 1-го порядка.

Пусть имеем уравнение 1-га порядка:

.

Обозначим , .

Тогда исходное уравнение запишется в виде системы, состоящей из уравнения 1-го порядка, которое можно решить методом Эйлера:

; ; ; .

Более подробно с различными, численными методами можно ознакомиться, например, по литературе [2].

Общий порядок анализа систем путем моделирования на ЭВМ следующий.

Разрабатывается математическая модель системы и составляется ее структурная схема.

Выбираются или разрабатываются модели воздействий.

Выбирается программное обеспечение для моделирования. Для этого в настоящее время имеется достаточное количество готовых программных средств.

На основании структурной схемы, с использованием готовых цифровых моделей отдельных звеньев, имеющихся в выбранной программе, набирается цифровая модель системы и воздействий.

Проводится моделирование, в результате которого получают картину доведения системы во времени (например, переходный процесс).

Проводится анализ поведения системы во времени и делается вывод о качестве управления, обеспечиваемого системой.

Общий порядок синтеза с применением моделирования на ЭВМ следующий.

Исходя, из общих принципов построения систем автоматического управления разрабатывается функциональная схема системы.

Система разбивается на не варьируемую в варьируемую части. К не варьируемой части относят те устройства системы, которые заданы и обязательно войдут в состав системы. К таким устройствам обычно относятся объект управления и исполнительные устройства.

Исследуются условия функционирования системы, выявляются возмущающие воздействия, формируются требования к системе.

Разрабатывается математическая модель не варьируемой части и модели воздействий.

На основании общих принципов построения алгоритмов управления и знания свойств систем с различными алгоритмами управления, например, с типовыми законами регулирования, формируются гипотезы, о возможности применения этих законов в синтезируемой системе. Гипотезы ранжируются по сложности и цене практической реализации.

Разрабатывается математическая модель системы в соответствии с выбранной гипотезой и ее структурная схема.

Путем моделирования на ЭВМ с использованием экспериментальных поисковых методов оптимизации находятся оптимальные параметры алгоритма управления. Оценивается качество полученной системы. Если качество управления отвечает требованиям, предъявляемым к системе, то гипотеза принимается. Если нет - переходят к проверке следующей гипотезы в ряде сформированных гипотез. Таким образом, выбирается наиболее простой и дешевый вариант реализации системы.

Литература

1.Основы автоматики. Описание и характеристики звеньев сметем автоматического управления. – Мн.: БАТУ, 2000. – 46 с., ил.

2. Анхимюк В Л., Опейко О.Ф., Михеев Н.Н. Теория автоматического управления. – Мн.: Дизайн ПРО, 2000. – 352с., ил.

3. Теория автоматического управления. Ч. 1. Теория линейных систем автоматического управления. / Н.А.Бабанов, А.А. Воронов и др. - М.: Высш.шк., 1986. – 367 с., ил.

4. Сидоренко Ю.А., Теория автоматического управления. Мн.: БГАТУ, 2006 – 126с., ил.

100