Методические указания

В соответствии с программой лабораторной работы п.п.1 и 2 выполняются при подготовке к лабораторной работе, а остальные в дисплейном классе.

Метод гармонической линеаризации заключается в нахождении амплитуды А и частоты w автоколебаний, удовлетворяющих условию:

1+W_нэ(А)W_л(jw)=0, где W_нэ(А)=q(A)+jq^’(A).

Ниже приведены аналитические выражения для расчета обратных передаточных функции нелинейных элементов -1/W_нэ(А):

(рис.7.1,а);

(рис.7.1,б);

(рис.7.1,в).

Можно определить графически W_л(jw)=-1/W_нэ(А), т.е. найти точки пересечения характеристик W_л(jw) и -1/W_нэ(А). Для определения устойчивости автоколебаний воспользоваться приближенным правилом: если точка характеристики -1/W_нэ(А), соответствующая увеличенной амплитуде, не охватывает а.ф.х. линейной части W_л(jw), то рассматриваемые колебания устойчивы, в противном случае – неустойчивы.

При составлении программ расчета нелинейной САУ следует устанавливать нелинейный элемент перед тиристорным преобразователем. Для моделирования нелинейностей целесообразно использовать функциональные блоки в библиотеке пакета SyAn.

На рис.7.2 представлена обобщенная математическая модель для исследования нелинейной САУ с различными нелинейностями.

Рис.7.2

Программа расчета должна предусматривать вывод значений j_вых(t) и j'_вых(t) для того, чтобы можно было построить фазовую траекторию. Кроме того следует вывести сигнал на входе нелинейного элемента, из которого экспериментально определяются А и w автоколебаний. При возникновении автоколебаний на фазовом портрете получаются устойчивые предельные циклы.

При исследовании влияния нелинейности на параметры автоколебаний следует взять два значения сигнала двухпозиционного реле 0.5В и 1.5В (Рис.7.1,в). Можно заметить, что А будет меняться, а частота автоколебаний w=2p/Т останется для однозначной нелинейности неизменной.

При изменении параметров линейной части САУ в нелинейной системе также будет наблюдаться изменение параметров автоколебаний. В этом случае при многозначной нелинейности и изменении только коэффициента усиления W_л(jw) меняться будет не только амплитуда автоколебаний, но и частота. В лабораторной работе следует принять два значения коэффициента усиления линейной части 0.2К_кр и 0.6К_кр.

Контрольные вопросы

1. Как влияет величина зоны нечувствительности нелинейного элемента на параметры автоколебаний?

2. Влияют ли начальные условия в релейной следящей системе на характер отработки рассогласования?

3. Как влияет ширина петли гистерезиса нелинейного элемента на параметры предельного цикла?

4. Как влияет величина зоны нечувствительности нелинейного элемента на точность слежения?

5. По каким характеристикам определяются параметры возможных автоколебаний А и w?

6. Сформулируйте правило определения устойчивости автоколебаний.

7. Как влияют параметры линейной части САУ на амплитуду и частоту колебаний?

8. Какие существуют методы определения устойчивости работы нелинейных САУ?

9. В чем заключается приближенность метода гармонической линеаризации при исследовании нелинейных САУ?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8

ИССЛЕДОВАНИЕ МОДАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Цель работы: освоить методику расчета модального управления в линейных динамических системах и исследовать возможности модального управления для синтеза управляющих воздействий.

Для следящего электропривода, параметры которого взяты из лабораторной работе №4, используется модальное управление, как показано на рис.8.1.

Рис.8.1

Требуется:

1. Разработать структурную схему модального регулятора с неизвестными пока параметрами l_i обратных связей с использованием пакета SyAn;

2. Представить САУ с модальным управлением уравнениями состояния. Найти матрицы A, B, C;

3. Оценить управляемость системы, найдя матрицу управляемости N_у и определить ее ранг r;

4. Определить характеристическое уравнение замкнутой САУ с модальным регулятором;

5. Рассчитать параметры l_i обратных связей для заданного времени регулирования t_р (табл. №2) и стандартной настройки (табл. №3: Би - биномиальная; Ба – распределение Баттерворта);

6. Используя имитационное моделирование получить переходные характеристики по управляющему и возмущающему воздействиям. Сравнить полученные показатели качества со стандартными.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Поведение в системе автоматического управления определяется корнями характеристического уравнения, которым, в свою очередь, соответствуют составляющие свободного движения системы, называемые «модами».Модальное управление – это такое управление, когда достигается требуемый характер переходных процессов за счет обеспечения необходимого расположения корней характеристического полинома на комплексной плоскости. При этом задача сводится к определению коэффициентов соответствующих обратных связей по состоянию объекта, а не путем применения корректирующих звеньев в прямой цепи САУ.

Это управление применяется тогда, когда все составляющие вектора состояния объекта управления доступны непосредственному измерению (полная управляемость). Для линейных динамических систем корни замкнутой системы можно смещать в любые желаемые положения при законе управления в виде линейной функции переменных состояния. Эта же задача может быть решена и при использовании в законе управления лишь части переменных состояния (неполная управляемость), если для управления использовать не один, а несколько входов объекта, когда используется подача внешних воздействий в нескольких различных точках.

Следует заметить, что термин “объект управления” следует воспринимать в более широком смысле, чем это принято в классической теории автоматического управления. Сюда следует относить исполнительные и рабочие органы, предшествующие им усилители и преобразователи, принимая их выходные сигналы в качестве составляющих выходного вектора объекта.

Расчет и конструирование модальных регуляторов проводится в следующей последовательности.Пусть полностью управляемый и наблюдаемый объект описывается следующими уравнениями в векторно-матричной форме:

(8.1)

где X – n-мерный вектор переменных состояния объекта (n – порядок объекта); Y и U – векторы выходной переменной и управления; A, B и C – матрицы соответственно коэффициентов характеристического уравнения, управления и наблюдения.

Сформируем обратную связь следующим образом:

U=K(G – LX), (8.2)

где G – вектор задающих сигналов; K – матрица коэффициентов усиления промежуточного регулятора ( усилителя); L – матрица коэффициентов обратных связей.

Тогда обобщая уравнения замкнутой системы (8.1) и (8.2) получаем

(8.3)

или в виде

(8.4)

где F=A – BKL.

Характеристическое уравнение полученной замкнутой системы определяется следующим образом:

D(p)=det , (8.5)

где I – единичная матрица размерности

Поскольку собственные числа матрицы однозначно определяют коэффициенты характеристического полинома, задача может быть сформулирована следующим образом: для управляемой системы (8.1) с характеристическим полиномом найти вектор L коэффициентов обратных связей и предварительный коэффициент усиления K, чтобы замкнутая система (8.4) имела желаемую стандартную форму характеристического полинома (8.5) с заданными коэффициентами l_i.

Процедура расчета коэффициентов l₁, ..., l_n проводится в следующей последовательности:

• выбираем желаемое распределение корней характеристического уравнения, то есть выбираем желаемую стандартную форму характеристического полинома замкнутой системы. С целью сокращения объема вычислений для случаев объектов высокого порядка целесообразно применить описание объекта в канонической управляемой форме Фробениуса;

• находим характеристический полином с помощью формулы (8.5);

• коэффициенты этого полинома будут зависеть от неизвестных пока параметров l_i и коэффициента усиления промежуточного усилителя K;

• приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях p полиномов, полученных на первом и втором шагах, получаем систему уравнений для определения неизвестных параметров l_i. Решив ее при известных остальных параметрах системы (матрицы А,B,С), находим искомые параметры модального регулятора (элементы матрицы L). При этом К промежуточного усилителя находится из условия получения требуемых переменных состояния в установившемся режиме, т.е. .

Наиболее распространенными из стандартных форм характеристического полинома являются: фильтр Чебышева, распределение Бесселя, распределение Баттерворта, биномиальное распределение, когда при порядке системы n берется характеристический полином в следующем виде:

D(p)=(p+w)ⁿ = 0, (8.6)

где w – среднегеометрический корень.

Распределение характеризуется наличием n кратных действительных и отрицательных корней, количественно равных среднегеометрическому корню. Характеристические уравнения для этого распределения имеют вид, представленный в таблице 8.1.

Таблица 8.1

Порядок системы	Время регулирования, tp	Характеристическое уравнение
1	3/ω	D(p) = p + ω
2	4,5/ω	D(p) = p2 + 2ω p + ω2
3	6/ω	D(p) = p3 + 3ω p2 + 3ω2 p + ω3
4	7,6/ω	D(p) = p4 + 4ω p3 + 6ω2 p2 + 4ω3 p + ω4

Значения коэффициентов характеристического уравнения D(p) в зависимости от порядка системы в распределении Баттерворта сведены в таблицу 8.2.

Таблица 8.2

Порядок системы	Перерегу- лирова- ние, %	Время ре- гулирова- ния, tp	Характеристическое уравнение
1	0	3/w	D(p)=p+w
2	4,3	3/w	D(p)=p2+1.4wp+w2
3	8	6/w	D(p)=p3+2wp2+2w2p+w3
4	11	6,8/w	D(p)=p4+2.6wp3+3.4w2p2+2.6w3p+w4

При этом во всех случаях значение w выбирают исходя из требуемого быстродействия и перерегулирования системы с учетом ограничений на управление и переменные состояния.

Пример: рассмотрим задачу синтеза обратной связи для системы управления электроприводом перемещения. Упрощенная линейная модель разомкнутой системы управления описывается дифференциальным уравнением вида

где: Т – постоянная времени привода, учитывающая его инерционность; к – общий статический коэффициент передачи канала управления; j и w – соответственно угол поворота и угловая скорость электродвигателя; u - управляющий сигнал (напряжение управляемого источника питания).

Переходя к изображениям по Лапласу, получим

где к₁×к₂ = к. Представим объект управления структурной схемой в виде последовательного соединения апериодического и интегрирующего звеньев рис.8.2.

Структурная схема разомкнутой системы (объекта управления)

Рис.8.2

Уравнения объекта в скалярной форме будут иметь вид

Здесь - переменная состояния, пропорциональная углу поворота электропривода; - переменная состояния, пропорциональная угловой скорости электропривода.

Уравнение объекта в векторно-матричной форме согласно (8.1)

Отсюда находим

Корни характеристического уравнения разомкнутой системы следовательно, объект управления является нейтральным. Для обеспечения заданного перемещения введем линейные обратные связи по углу и угловой скорости

u(t) = – l₁ x₁(t) – l₂ x₂(t) + k₀ g(t),

где g – задаваемое значение перемещения.

Тогда замкнутая система с модальным управлением будет иметь вид, показанный на рис.8.3.

Структурная схема замкнутой системы модального управления

Рис.8.3

Она описывается дифференциальными уравнениями в скалярной форме

(8.7)

Коэффициент усиления предварительного усилителя К₀ найдем из условия обеспечения установившегося перемещения (заданного), т.е. y=x₁=g. При этом

Тогда из уравнения (8.7) получим К₀ = l_1.

Характеристическое уравнение замкнутой САУ с неизвестными параметрами l_i модального регулятора найдем из уравнения (8.7)

(8.8)

Если для САУ второго порядка принять коэффициенты желаемого характеристического уравнения (8.7) в соответствии с распределением Баттерворта, т. е.

D(p) = p² +1,4 w p + w² = 0 и t_p =3/w, (8.9)

то предварительно задавшись требуемым временем переходного процесса t_p, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях оператора р в уравнениях (8.8) и (8.9), получим следующие коэффициенты обратных связей (модального регулятора):

(8.10)

Если для САУ второго порядка принять коэффициенты желаемого характеристического уравнения (8.7) в соответствии с биномиальным распределением , т. е.

D(p) = p² +2 w p + w² = 0 и t_p @ 3/w, (8.11)

то предварительно задавшись требуемым временем переходного процесса t_p, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях оператора р в уравнениях (8.8) и (8.11), получим следующие коэффициенты обратных связей (модального регулятора):

(8.12)

Для приведенной САУ модального управления примем следующие значения параметров: T=0,2 c.; k₁=10; k₂=0,1; t_p=0,3 c. Тогда коэффициенты обратных связей модального регулятора, рассчитанные по формулам (8.10) и (8.12), будут иметь значения:

- для биномиального распределения - l₁= 20; l₂= 0,3;

- для распределения Баттерворта - l₁= 20; l₂= 0,18.

Модель на ЭВМ САУ с настройкой Баттерворта

Рис.8.4

На рис.8.4 приведена схема моделирования в пакете SyAn системы управления с модальным регулятором, настроенным на распределение Баттерворта.

На рис. 8.5 приведены результаты моделирования САУ с модальным управлением в среде пакета прикладных программ SyAn. На графиках приведены переходные процессы при g(t) = 1 для биномиального распределения (рис.8.5,а) и для распределения Баттерворта (рис.8.5,б).

Графики переходных процессов

Рис. 8.5

При использовании распределения Баттерворта время переходного процесса меньше, чем при использовании биномиальной настройки, но в тоже время появляется перерегулирование. При использовании биномиальной стандартной настройки и стандартного распределения Баттерворта ошибка системы регулирования с нейтральным объектом стремится к нулю. В обоих случаях быстродействие выше чем при классических оптимальных настройках регуляторов (модульной и симметричной).

Для оценки управляемости необходимо написать матрицу управляемости

N_У = [B AB A²B ... A^n-1B] (8.13)

и определить ее ранг r. Если ранг r матрицы управления равен порядку системы управления n, то САУ полностью управляема.

На рис.8.6 представлена детализированная модель САУ с модальным регулятором. Если какой-либо из коэффициентов l_i получится с отрицательным знаком, то необходимо поменять знак обратной связи на противоположный.

Рис.8.6

На рис.8.7 представлен переходный процесс по управляющему и возмущающему воздействиям для САУ с модальным регулятором, у которой: Т_м=1.2с, Т_тп=01с, К_д =1.1 К_тп=5, К_у=4, t_р=2с, стандартная настройка Баттерворта. Коэффициенты модального регулятора получились: l₁=К₀=0.14727273, l₂=0.07469697, l₃=-0.02416667.

Рис.8.7

В отчете должны быть представлены скалярные выражения уравнений состояния САУ с модальным управлением, детализированные модели системы, расчеты коэффициентов модального регулятора, графики переходных процессов с анализом полученного качества управления.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Описать процедуру расчета коэффициентов обратной связи при модальном управлении.

2. Получить выражение для передаточной функции выхода системы по управляющему и возмущающему воздействиям.

4. Проверить, изменяется ли числитель передаточной функции системы при модальном управлении.

3. Перечислите характеристики систем в пространстве состояний. Дайте понятие управляемости и наблюдаемости систем и критерии их проверки.

4. В каких случаях целесообразно применять модальное управление?

5. Что необходимо применять, если не все переменные состояния можно измерить?

6. Перечислите стандартные настройки регуляторов.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №9

ИССЛЕДОВАНИЕ МНОГОКОНТУРНОЙ САУ С ПОДЧИНЕННЫМ РЕГУЛИРОВАНИЕМ

Цель работы: освоить методику расчета типовых настроек регуляторов многоконтурных САУ.

Для следящего электропривода, состоящего из преобразователя с передаточной функцией W_тп(p)=К_тп/(Т_тпp+1) и двигателя с передаточной функцией W_д(p)=K_д/(p(T_мp + 1)), применяется двухконтурная система управления с регулятором положения W_рп(p) и подчиненным ему регулятором скорости W_рс(p), как показано на рис 9.1. Параметры двигателя и преобразователя в соответствии с вариантом задания берутся из таблиц №1 и 3.

Рис.9.1.

Требуется:

1. Рассчитать параметры ПИ-регулятора скорости, настроенного на модульный оптимум, и П-регулятора положения, настроенного на симметричный оптимум;

2. Разработать структурную схему многоконтурной системы с подчиненным регулированием с использованием пакета SyAn;

3. Используя имитационное моделирование при отключенном контуре положения получить переходную характеристику по управляющему воздействию в контуре скорости. Сравнить полученные показатели качества со стандартными;

4. Используя имитационное моделирование получить переходную характеристику по управляющему воздействию в контуре положения при К=3 совместно с внутренним контуром скорости. Оценить полученные показатели качества;

5. Исследовать влияние на показатели качества регулирования изменения коэффициента К симметричной настройки в контуре положения.