3.3. Предел последовательности. Предел функции

Числовой последовательностью (или последовательностью) называется функция х_n = f(n), определённая на множестве натуральных чисел. Каждое значение x_n(n = 1, 2, 3,…) называется элементом (членом) последовательности, а число n – его номером.

Примеры последовательностей:



 ;

 .

Последовательность можно изобразить геометрически на числовой оси или на плоскости.

Пример. Изобразить геометрически последовательность

.

Решение. Наносим члены последовательности как точки оси (рис. 3.7).

Пример. Изобразить геометрически последовательность

, или

Решение. Наносим члены последовательности как точки плоскости (рис. 3.8).

Последовательность {x_n} называется ограниченной, если существует число М > 0 такое, что для любого номера n выполняется неравенство .

Последовательность {x_n} называется ограниченной сверху, если существует число М такое, что для любого номера n выполняется неравенство x_n  М.

Последовательность {x_n} называется ограниченной снизу, если существует число т такое, что для любого номера n выполняется неравенство x_nт.

Например, последовательность ограничена, т. к. n  N справедливо , где

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для всякого как угодно малого  > 0 существует такое число N, что для всех n > N выполняется неравенство a  x_n < . При этом пишут

, или х_п  а при п  .

Неравенство a  x_n <  можно записать в виде

  < x_n  а < ,

а   < x_n < а + .

Интервал (а  , а + ) называется - окрестностью точки а.

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если, какова бы ни была окрестность точки а, начиная с некоторого номера N, все члены последовательности {x_n} попадут в эту окрестность.

Определение предела последовательности имеет следующий геометрический смысл: число а называется пределом последовательности {x_n}, если в любой -окрестности числа а содержатся почти все члены последовательности {x_n}, т. е. вне её находится лишь конечное число членов данной последовательности, поэтому такую точку х = а часто называют точкой сгущения (рис. 4.14).

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а последовательность, предел которой не существует или равен бесконечности,  расходящейся.

Теорема. Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.

Теорема. Если последовательность {x_n} сходится, то она ограничена.

Заметим, что обратная теорема не верна. Из ограниченности последовательности не следует её сходимость.

Последовательность {x_n} называется:

 возрастающей, если x₁ < x₂ < … < x_n < x_n+1 < …;

 неубывающей, если x₁  x₂  …  x_n  x_n+1  …;

 убывающей, если x₁ > x₂ > … > x_n > x_n+1 > …;

 невозрастающей, если x₁  x₂  …  x_n  x_n+1  ….

Все такие последовательности называются монотонными.

Теорема. Всякая ограниченная сверху монотонно возрастающая последовательность имеет предел. Всякая ограниченная снизу монотонно убывающая последовательность имеет предел.

Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале, содержащем точку а. В самой точке а функция может быть и не определена.

Число А называется пределом функции f(x) при х  а, если для любого  > 0 существует такое  > 0, что для всех х, отвечающих условию x – a <  выполняется неравенство f(x)  A < . При этом пишут

Условие x – a <  можно записать так:

– < x – a < , а –  < x <  a + .

Интервал (а – , a + ) называется -окрестностью числа а.

Неравенство f(x)  A <  равносильно следующим:

  < f(x)  A < , или А   < f(x) < A + .

Интервал (А  , A + ) называют –окрестностью точки А.

Число А называют пределом функции y = f(x) в точке а, если для любой сколь угодно малой - окрестности точки А найдётся такая –окрестность точки а, что если х  (а  , а + ), то f(x)  (А  , A + ) (рис. 3.10). Подчеркнём, что  зависит от , т. е.  = ().

Число А называется пределом функции y = f(x) при х+, если для любого  > 0 существует число М такое, что из условия х > М вытекает, что f(x)  A < , или

Пишут: (рис. 3.11).

Пример. Вычислить .

Решение. Рассмотрим дробно-рациональную функцию . Она не определена в точке х = 2, при х  2 она совпадает с функцией (x) = x + 2, т. к. если х  2, то , (2) = 4. При вычислении предела нас интересует поведение функции только при х  2 (но не в самой точке), поэтому, сокращая, вычисляем

= 4.

Предел функции y = f(x) при х  а, где а – конечное число, равен +, если для любого числа М существует такое  > 0, что из условия x – a <  вытекает f(x) > М (рис. 3.12) или

Пишут

Аналогично определяется бесконечный предел функции (рис. 3.13).