3.5. Замечательные пределы

Теорема. Предел отношения sinx к своему аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю, т. е.

(3.1)

Доказательство. Предварительно заметим, что, во-первых, функция не определена в точке х = 0. Во-вторых, функция является чётной. В самом деле, для любого х  0 имеем

П о условию х  0, следовательно, достаточно рассмотреть значения х, удовлетворяющие неравенству . Возьмём дугу окружности радиуса R и угол, радианная мера которого равна х (рис. 3.18);

R = OA = OM,

где АТ – касательная к окружности,

АМ – хорда.

Сравним площади треугольников и сектора.

Очевидно, что

S_OAM < S_{сектора ОАМ} < S_OAT.

Вычисляя эти площади, имеем

или

Сокращая, получаем важное тригонометрическое неравенство:

sin x < x < tg x.

Разделим последние неравенства на sinx (sinx > 0 для ):

или

Но cosx  1 при х  +0. Следовательно, для значение заключено между 1 и cosx  1. Тогда Неравенство (3.1) установлено для . В силу чётности функции имеем

Окончательно Теорема доказана.

Предел (3.1) обычно называется первым замечательным пределом.

Пример. Вычислить .

Решение.

Воспользуемся свойством произведения пределов, выделив формулу первого замечательного предела:

Из первого замечательного предела следуют равенства:

1)

2)

3)

4) если (х)  0 при х  а, то

5) если (х)  0 при х  а, то

6) если (х)  0 при х  а, то

7) если (х)  0 при х  а, то

Предел последовательности называют вторым замечательным пределом и обозначают через е = 2,7182818284… :

.

Формула второго замечательного предела верна и для непрерывного аргумента х:

Выполнив замену , где t  0 при х  , получим ещё одну запись второго замечательного предела

И вообще:

• если (х)  0 при х  а, то

• если (х)   при х  а, то

• где  = const.

Логарифм по основанию е называется натуральным и обозначается lnx.

Связь этого логарифма и логарифма с любым другим основанием осуществляется по формуле

или

Выведем следующую полезную формулу:

(3.2)

Полагая (у  ), находим

Аналогичную формулу можно получить для логарифма с произвольным основанием

Выполним переход к натуральному логарифму:

Учитывая (3.2), записываем ответ:

Пример. Вычислить предел .

Решение. Выделим единицу внутри скобки и воспользуемся формулой второго замечательного предела

3.5. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые

Пусть (х), (х) – бесконечно малые при х  а, где а конечно или бесконечно.

Если , то говорят, что (х) – бесконечно малая более высокого порядка, чем (х) при х  а, или что (х) – бесконечно малая низшего порядка относительно (х).

Если , то говорят, что (х) – бесконечно малая низшего порядка относительно (х) при х  а или (х) – бесконечно малая более высокого порядка, чем (х).

Если где с = const  0, то (х) и (х) называют бесконечно малыми одного порядка.

Бесконечно малая (х) называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой (х), если конечен и не равен нулю.

Пример. Сравнить бесконечно малые (х) = х²sinх, (х) = tgх.

Решение. Найдём предел отношения функций, воспользовавшись свойствами пределов

Следовательно, (х) = х²sinх – бесконечно малая более высокого порядка, чем (х) = tgх при х  0.

Пусть (х) и (х) – бесконечно малые при х  а. Если предел не существует, то бесконечно малые (х) и (х) называются несравнимыми.

Например, при х  0 бесконечно малые и (х) = х несравнимы, т. к.

последний предел не существует.

Если (х) и (х) – бесконечно малые при х  а, причём (х) – бесконечно малая более высокого порядка, чем (х), то функция (x) = (х) + (х) – бесконечно малая того же порядка, что и (х) (говорят: (x) и (х) – эквивалентные бесконечно малые).

Если то бесконечно малые (х) и (х) называются эквивалентными бесконечно малыми (обозначают через (х)  (х)).

Если (х) и (х) – бесконечно малые при х  а, то (х)  (х) тогда, и только тогда, когда их разность (x) = (х) – (х) есть бесконечно малая более высокого порядка, по сравнению с (х) и (х).