Свойства эквивалентных бесконечно малых
Если (х) (х), то (х) (х);
Если (х) (х), (х) (х), то (х) (х);
Если (х) 1(х),
(х) 1(х)
и
то
т. е. предел отношения бесконечно
малых не меняется при замене их
эквивалентными бесконечно малыми:
Последнее
свойство используется при вычислении
пределов для раскрытия неопределённости
вида
.
При этом удобно пользоваться эквивалентными
бесконечно малыми:
sin (х) (х) ln (1 + (х)) (х)
arcsin (х)
(х) loga
(1 + (х))
tg (х) (х) e(x) – 1 (х)
arctg (х) (х) a(x) – 1 (х)lna
1 – cos (х)
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций эквивалентна бесконечно малой низшего порядка.
Пример.
Вычислить предел
Решение. Определим порядки каждого из слагаемых числителя и знаменателя дроби относительно бесконечно малой х. Заменим каждую бесконечно малую эквивалентной бесконечно малой (при х 0):
1 = sin2 2x (2x)2, т.е. порядок 1 равен 2;
2 = tg3x x3, т.е. порядок 2 равен 3;
3 = x4 , т. е. порядок 3 равен 4;
4 = arcsinx x, т.е. порядок 4 равен 1.
Тогда
6х + sin22x + tg3x 6x,
x4 + 3arcsinx 3arcsinx.
Вычисляем предел, заменив сумму бесконечно малых разных порядков бесконечно малой низшего порядка:
3.6. Непрерывная функция. Вычисление пределов
Рассмотрим функцию у = f(x). Пусть х – некоторое значение аргумента. Перейдём от этого значения аргумента к другому, равному х1. Разность х1 – х называется приращением аргумента в точке х и обозначается через х = х1 – х. Ясно, что новое значение аргумента равно х1 = х + х, ему соответствует и новое значение функции f(x1) = f(x + х). Разность f(x + х) f(x) называется приращением функции в точке х, соответствующим приращению аргумента х и обозначается через
f(x) = f(x1) f(x) или у = у(х + х) у(х).
Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х0, если выполняются условия:
функция у = f(x) определена в точке х0;
справедливо равенство
т. е. если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.
Особый
интерес представляет случай, когда
.
Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х0, если выполняются условия:
функция у = f(x) определена в точке х0;
справедливо равенство
(3.3)
т.е. предел функции у = f(x) в точке х0 равен значению функции в точке х0.
Если же равенство (3.3) нарушено, то говорят, что при значении х = х0 функция терпит разрыв.
Если функция непрерывна в точке, то она непрерывна и в некоторой её окрестности.
Функция у = f(x) называется непрерывной на интервале (а, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Основне теоремы о непрерывных функциях
Теорема. Всякая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения.
Теорема. Сумма, произведение конечного числа непрерывных на интервале (а, b) функций, есть функция, непрерывная на интервале (а, b). Частное от деления двух непрерывных на интервале (а, b) функций есть функция, непрерывная во всех точках интервала (а, b) в которых знаменатель отличен от нуля.
Теорема. Непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная. Более точно, если функция u = (x) непрерывна в точке х0, а функция y = f(u) непрерывна в точке u0 = (х0), то сложная функция y = f((x)) непрерывна в точке х0.
Из равенства (3.3) следует, что для нахождения предела при х х0 непрерывной в точке х0 функции достаточно вычислить значение функции в точке х0.
Так
как
,
то если функция у = f(x)
непрерывна в точке х0, знаки
предела и функции переставимы:
Для непрерывной функции (t) такой, что (t) x0 при t t0 справедливо свойство перестановочности сложной функции f(x) = f((t)) и предела
.
Вычисление предела функции f(x) при x х0 начинают с нахождения значения f(х0).
Если
f(х0) является одним из
выражений вида
которые называют неопределённостями,
то для нахождения предела используют
специальные приёмы. Процесс преобразования
обычно называют раскрытием
неопределённостей.
Рассмотрим несколько наиболее часто встречающихся типов функций, вычисление пределов которых сводится к раскрытию неопределённостей.
1.
Неопределённость вида
возникает при вычислении предела
отношения многочленов
где
Поскольку при х многочлены стремятся к бесконечности как сумма бесконечно больших. Неопределённость раскрывается посредством вынесения за скобки высшей степени в каждом многочлене:
Пример.
Вычислить предел
.
Решение.
2.
Неопределённость вида
возникает при вычислении предела
где Pn(а) = 0, Qm(а)
= 0, предельное значение аргумента х =
а конечно и является корнем каждого
из многочленов.
Если
при этом
и
,
то x = a – простой
корень каждого из многочленов.
В обоих многочленах выделяют множитель (х – а) и сокращают на него дробь:
Если же
,
,
то
,
,
.
Пример.
Найти предел
.
Решение.
3.
Избавиться от неопределённости
при вычислении пределов, содержащих
иррациональные выражения, позволяют
следующие приёмы:
введение новой переменной для получения рационального выражения;
перевод иррациональности из знаменателя в числитель и наоборот, что достигается домножением на сопряжённое выражение числителя и знаменателя.
Пример.
Найти предел
Решение.
Вычисляя значение функции в точке х
= 10, получаем неопределённость
.
Способ
1. Введём новую переменную
Тогда y2 = x 1,
x = y2 + 1, при этом если х
10, то у 3. Выполняем
замену переменной под знаком предела:
Способ
2. Умножим числитель и знаменатель
на выражение
(говорят “умножить на сопряжённое
выражение”), таким образом, переведём
иррациональность из числителя в
знаменатель:
4. При раскрытии неопределённости используют эквивалентные бесконечно малые.
5. Неопределённость вида раскрывают либо приведением разности дробей к общему знаменателю, либо умножением на сопряжённое выражение.
Пример.
Вычислить предел
.
Решение.
Подставив под знак предела х = ,
получаем разность двух бесконечно
больших
Это неопределённость.
Умножим
и разделим разность слагаемых, стоящую
под знаком предела, на сумму тех же
слагаемых
7.
При вычислении пределов выражений
вида
где
используется второй замечательный
предел.
Пример.
Найти предел
Решение. Исследуем основание степени
Учитывая, что показатель степени 2х + 1 , получаем неопределённость 1. Выделяем формулу второго замечательного предела:
Введём
переменную
,
;
при этом
,
если
.
Выполним замену:
=
.