1.4. Упрощения при расчета сложных рам

Использование симметрии

Симметричной называют такую раму, которая обладает симметрией в очертании оси, в расположении опорных устройств, в жесткости элементов.

Используя симметрию при выборе основной системы можно добиться значительного упрощения системы канонических уравнений за счет разделения ее на две независимые группы. Одна включает только симметричные неизвестные, другая - обратносимметричные неизвестные.

Так для рамы, показанной на рис. 1.14 при выборе основной системы с учетом симметрии (рис. 1.14,а) неизвестное Х₁ – обратносимметричное, а Х₂ – симметричное неизвестное. Построив соответствующие эпюры и вычислив коэффициенты канонических уравнений можно убедиться, что сложная система

поскольку ₁₂ = ₂₁ = 0 распалась на два простых уравнения.

Х₁ ₁₁ = _1p Х₂ ₂₂ = _2p

Группировка неизвестных при расчете симметричных рам

В этом случае в качестве неизвестных следует принимать групповые неизвестные в виде системы сил, приложенных в различных, симметрично расположенных токах. В рассмотренном выше примере имели место групповые неизвестные, но они были вызваны тем, что представляли «освобожденные» внутренние усилия, выступавшие в качестве неизвестных, и должны быть приложены к обеим сторонам сечения.

Рассмотрим в качестве примера дважды статически неопределимую систему (рис. 1.15).

Произвольный выбор основной системы (рис. 1.16,а) приводит к обычной системе канонических уравнений.

Если воспользоваться группировкой неизвестных (рис. 1.17,а), то побочные коэффициенты ₁₂ = ₂₁ = 0 и система уравнений разделится на два простых уравнения.

Х₁ ₁₁ = _1p

Х₂ ₂₂ = _2p.

Пример. Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюры внутренних усилий для рамы, показанной на рис. 1.18 ,а.

1. Определяем степень статической неопределимости заданной стержневой системы. Она равна 3.

2. Выбираем основную систему с учетом симметрии рамы и воспользуемся групповыми неизвестными (рис. 1.18, б).

3. Записываем систему канонических уравнений.

4. Для вычисления коэффициентов и свободных членной канонических уравнений строим грузовую (рис. 1.18,в) и единичные (рис. 1.19) эпюры.

5. Проводим вычисление указанных коэффициентов.

(результат перемножения симметричной и кососимметричной эпюр).

_2p = _3p = 0.

Система канонических уравнений принимает вид:

Х₁ ₁₁ = _1p

Х₂ ₂₂ + Х₃ ₂₃ = 0

Х₂ ₃₂ + Х₃ ₃₃ = 0.

6. Решаем полученную систему алгебраических уравнений. Тогда:

Система двух последних однородных уравнений с неизвестными Х₂ и Х₃ будет иметь ненулевое решение, если определитель из коэффициентов при неизвестных равен нулю.

Вычислим определитель: _{22 ∙}₃₃ - 2∙_{23 =}

Следовательно Х₂ = Х₃ = 0.

7. Строим эпюру М₁ и результирующую эпюру М (рис. 1.20).

8. Выполняем кинематическую проверку.

9. Дифференцируя эпюру М получаем значения поперечных сил и строим эпюру Q (рис. 1.21).

10. Рассматривая равновесие узлов (рис. 1.22), находим продольные усилия и строим эпюруN.

11. Выполняем статическую проверку рамы.

х = 0.  Р/4 + Р – Р/4 – Р/2 = 0.

y = 0.  Р/4 + Р/4 = 0.

m_В = 0.

Р/4∙l – Р∙l + Р/4∙l + Р/4∙l + Р/4∙l = 0.

Проверка выполняется.