2.2 Пример расчета статически неопределимой рамы методом перемещений

Для заданной статически неопределимой рамы (рис. 2.9) требуется построить эпюры внутренних усилий.

Исходные данные: l = 4 м, h = 6 м, q = 2кН/м, Р = 10 кН, EI = const.

1. Степень кинематической неопределимости рассматриваемой рамы составляет

n ₌ n_{у +} n_{л =} 1 + 1 = 2.

2. Система канонических уравнений в данном случае имеет вид

z₁∙r₁₁ + z₂∙r₁₂ + R_1Р = 0,

z₁∙r₂₁ + z₂∙r₂₂ + R_2Р = 0.

3. Использую таблицы (см. приложение) строим единичные и грузовую эпюры. Для этого последовательно создаем единичные и грузовое состояния с показом ожидаемого деформированного вида (рис. 2.10, 2.11, 2.12). Это помогает правильно воспользоваться таблицами реакций для построения эпюр изгибающих моментов. Необходимо помнить, что эпюры М строятся на растянутых волокнах.

4. Вычисляем единичные коэффициенты.

Для вычисления реакции r₁₁ вырежем узел с заделкой на эпюре (рис. 2.10) и рассмотрим его равновесие под действием реактивных моментов, возникающих по концам стержней и реакции в заделке r₁₁, которую направляем по направлению единичного воздействия Z₁ = 1.

Во втором единичном состоянии при отклонении вправо в стержнях появляются реакции, направленные влево (рис. 2.14). Тогда

Для определения побочных коэффициентов (реакций), для которых справедливо r₁₂ = r₂₁, рассмотрим эпюру , где наглядно видно, что в первой наложенной связи при смещении Z₂ = 1 возникает момент 6EI/h², растягивающий правые волокна (направленный в сторону Z₁). Тогда реакция

При определении знака поперечной реакции удобно пользоваться правилом знаков для поперечной силы – положительная поперечная сила вращает узел по часовой стрелке.

Грузовые коэффициенты определим по эпюре М_р. Вырежем узел с наложенной заделкой и рассмотрим действующие на нее моменты (рис. 2.15). Реакция R_1Р, возникающая в виде реактивного момента в заделке из условий равновесия будет

Минус у реакции R_1P означает, реакция направлена в сторону, обратную первому единичному воздействию.

Реакция R_2Р, возникающая в веденной опоре правого узла, равна верхней реакции в стойке от действия распределенной нагрузки (R_В).

Σх = 0. R_2Р = - R_В = - 6 кН_.

Знак минус означает, что реакция направлена в сторону, обратную линейному смещению z₂.

Запишем систему канонических уравнений с учетом полученных коэффициентов и свободных членов.

5. Решая записанную систему уравнений, получим

6. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов для заданной системы производим на основании принципа независимости действия сил по формуле

M = Z₁ + Z₂ + M_p,

т. е. путем сложения эпюр от неизвестных (рис. 2.16) и грузовой эпюры (рис. 2.15). Эпюры от неизвестных получаются путем умножения единичных эпюр на значения соответствующих Z_i.

7. Для проверки правильности построения эпюры М производим статическую и деформационную проверки.

Для статической проверки, как и в методе сил, вырезаются незакрепленные жесткие узлы из эпюры М, прикладываются действующие в нем изгибающие моменты и проверяется выполнение уравнения m = 0. в нашем случае разность моментов в узле В равна 0,05 кНм, что составляет 1,2%.

Деформационная проверка проводится с применение метода сил и заключается в определении перемещений тех сечений, чье перемещение исключено. Так, если выбрать основную систему метода сил с использованием шарнирных узлов в опоре А и в узле В, то угол поворота сечения А должен быть равен нулю, поскольку в заданной системе в точке А жесткая опора..

Для его вычисления создадим единичное состояние метода сил (рис. 2.17), построим единичную эпюру от единичного момента и перемножим результирующую эпюру на единичную.

8. Построение эпюр Q и N.

Как и в методе сил, эпюры поперечных сил строятся с использованием формулы графического дифференцирования эпюры моментов

а эпюра продольных сил строится путем рассмотрения равновесия узлов рамы.

В нашем примере.

Левая стойка.

Q_л = 10,28 кН, Q_пр = - 1,72 кН.

Поперечная сила меняет знак, следовательно, момент в пролете будет иметь экстремум.

Левая часть ригеля

Правая часть ригеля

Правая стойка

Строим эпюру Q (рис. 2.18, а).

Вырезая левый и правый узлы рамы и рассматривая их равновесие (рис. 2.18,б), находим продольные усилия в стойках и ригеле и строим эпюру продольных сил N (рис. 2.18,в).

В заключение, проводим статическую проверку по аналогии со статической проверкой в методе сил. Отсекаем раму от всех опор и прикладываем в местах отсечений силовые факторы по эпюрам M, Q, N (рис. 2.19).

Должны выполняться все три уравнения равновесия.

x = 0, q∙6 – 10.28 – 1.72 = 12 – 12 =0.

y = 0, - P + 3.925 + 6.05 = 10 – 9.975 = 0,025 ≈ 0.

Погрешность  = 0.025∙100/10 = 0.25%

m_A = 0, - P∙2 - q∙6∙3 + M_A + M_D + N_D∙ 4 = - 20 – 36 + 21.45 + 10.32 +24.2 =

= 55.97 – 56 = 0.03 ≈ 0.

Погрешность  = 0,03∙100/56 = 0,05%.

Компьютерное сопровождение РГР по строительной механике

Общие положения

Классический учебный курс строительной механики стержневых систем основан на инженерном аналитическом аппарате. Численные решения с использованием аппарата матриц, в т.ч. методом конечных элементов являются специальным разделом учебного курса, а использование программных комплексов «тяжёлого», т.е. профессионального уровня вообще проводятся на других учебных дисциплинах. Выяснение и использование взаимосвязей каждого подхода становится чрезвычайно важной методической задачей. Однако, бесспорно, с элементами компьютерного расчёта желательно ознакомиться уже на этапе классического учебного курса по строительной механике стержневых систем.

В этом разделе авторы, имея большой опыт использования вычислительных комплексов, акцентируют внимание на компьютерном сопровождении аналитического решения, проверке гипотез, вычислении коэффициентов канонических уравнений как метода сил, так и метода перемещений. Кроме того часто в задачах большой размерности необходимо из больших массивов выходных данных (протоколов, листингов решения) извлекать конкретные параметры. Поэтому осмысленный поиск нужной характеристики также предполагается в настоящей главе.

Среди большого количества программ по расчёту плоских стержневых систем авторы рекомендуют использовать разработку [1]. Программа LinPro статического и динамического анализа плоских рам имеет в своём классе программ следующие преимущества:

• Программа является продуктом свободного распространения (Free Software), легко устанавливается на ПК

• Стержни имеют 6 степеней свободы, поэтому имеется возможность учёта не только изгибной, но и продольной жёсткости (последнее важно при анализе адекватности упрощения, связанного с игнорированием продольной податливости в аналитическом решении стержневых конструкции, особенно методом перемещений)

• В программе реализован расчёт указанных жесткостей для нескольких типовых поперечных сечений

• Как и в профессиональных комплексах допускается наложение и, наоборот, освобождение внутренних связей. (Добавление и исключение соответствующих строк в глобальной матрице жёсткости метода конечных элементов).

• Реализован модальный (расчёт собственных частот и мод колебаний) и динамический анализ (отклик конструкции на динамическое силовое и сейсмическое воздействие, формы и частоты вынужденных колебаний). Эти возможности востребованы в специальных разделах учебного курса строительной механики

• Реализована возможность приложения комбинации нагрузок с соответствующими коэффициентами безопасности (расчёт по предельным состояниям)

• Для освоения метода конечных элементов реализован простой доступ к локальным матрицам жёсткости конечных элементов

• Англоязычный интерфейс позволяет закрепить знания технического английского языка на множестве ключевых предметных терминов.

Иллюстрация физического смысла коэффициентов

канонических систем уравнений

При аналитическом решении расчётной схемы строительной конструкции методом сил и перемещений ключевым по трудоёмкости элементом расчёта является определение соответствующих коэффициентов системы управляющих уравнений. Ниже приведён пример численного сопровождения аналитического решения однопролётной одноэтажной конструкции с жёсткими узлами примыкания стоек и ригелей (верхний левый угол Рис.1). Главное внимание сконцентрировано на вычислении и иллюстрации физического смысла коэффициентов систем уравнений метода сил и перемещений.

На рис.1 приведены данные расчёта методом сил, а на рис.2 – методом перемещений.

В левых столбцах рисунков представлены единичные воздействия (силовые метода сил (Рис.1) и кинематические метода перемещений (Рис.2). В средних столбцах- единичные эпюры моментов от соответствующих воздействий. В правых столбцах - иллюстрация физического смысла

Рисунок 1 Определение коэффициентов метода сил

коэффициентов канонических уравнений аналитического аппарата метода сил и метода перемещений. Более точные числовые значения коэффициентов (большее количество значащих цифр) следует находить в протоколе (листинге) работы программы.

Техника получения искомых коэффициентов в программе LinPro, а также интерфейс программы будут изложены в методическом пособии по решению статически неопределимых задач.

Рисунок 2 Определение коэффициентов метода перемещений

Выводы

Представленный алгоритм позволяет:

• Графически показать физический смысл коэффициентов СЛАУ методов сил и перемещений

• Решать РГР без канонической таблицы метода перемещений

• Лучше, на цифрах понять смысл упрощений аналитических методов.

Более полное описание собственно программы LinPro приведено в прилагаемом архиве (сайт каф. АиГ) и в меню Help (англ.яз.). За справкой следует обращаться на кафедру.

Библиографический список:

1. Http://www.line.co.ba