2. Метод перемещений при расчете статически неопределимых систем

Выше был рассмотрен расчет статически неопределимых систем методом сил, в котором за основные неизвестные принимались внешние или внутренние усилия. Для определения этих неизвестных использовались уравнения совместности деформаций. Основная система при этом была статически определима.

В методе перемещений за основные неизвестные принимаются перемещения узлов рамы, для нахождения которых используются канонические уравнения, по смыслу представляющие собой уравнения равновесия узлов.

2.1 Алгоритм метода перемещений

Главной характеристикой статически неопределимой конструкции, расчитываемой методом перемещений, является степень кинематической неопределимости.

Степенью кинематической неопределимости называется число тех неизвестных перемещений, значения которых определяют деформированный вид стержневой системы и, следовательно, все усилия в ней.

Установим, какие перемещения стержня необходимо и достаточно знать, для того чтобы можно было определить внутренние усилия в любом его сечении.

Для этого рассмотрим прямолинейный стержень АВ, выделенный из n раз статически неопределимой рамы (рис. 2.1).

При представлении деформированного состояния рамы мы будем пренебрегать:

1) продольными деформациями стержней от продольных усилий N,

2) разницей длины искривленного стержня и проекцией его на первоначальное направление,

3) влиянием поперечных сил на деформацию изгиба стержня.

Под влиянием действующей на систему (в том числе и на сам стержень) нагрузки стержень перейдет в новое деформированное состояние А₁В₁.

Переход стержня из положения АВ в положение А₁В₁ можно представить в виде суммы следующих перемещений.

1) Поступательное перемещение из положения АВ в положение А В′ на величину Δ′. При этом в стержне не будет возникать внутренних усилий (рис. 2.2).

2) Поворот узла А на угол _A. При этом в стержне будут возникать внутренние усилия. На рис. 2.3,а показаны изогнутая ось и эпюра изгибающих моментов, соответствующие такой деформации.

3) Поворот узла В на угол _В. В стержне будут возникать изгибающие моменты, показанные на эпюре (рис. 2.3,б).

4) Линейное смещение одного из концов стержня с защемленными краями на величину Δ (рис. 2.3,в).

5) Перемещение точек оси стержня с защемленными краями от действия приложенных к стержню внешних сил (рис. 2.3,г).

Складывая эпюры моментов от каждого воздействия, получим результирующую эпюру для рассматриваемого стержня. Другими словами, если мы знаем для нагруженного стержня значения перемещений его торцов _A,_A,, то сможем определить внутренние усилия в любом сечении этого стержня.

Таким образом степень кинематической неопределимости n зависит от числа неизвестных улов поворота жестких узлов n_у и возможных линейных перемещений узлов n_л и равна сумме

n ₌ n_{у +} n_л (3)

Основная система метода перемещений.

При расчете статически неопределимых систем методом перемещений стержневая система расчленяется на ряд однопролетных балок, которые чаще всего статически неопределимы. Это достигается введением в нее дополнительных связей, запрещающих линейные смещения и повороты узлов (рис. 2.4). В результате получается основная система метода перемещений.

Поскольку деформированное и силовое состояния эквивалентной системы не должно отличаться от напряженно-деформированного состояния заданной системы необходимо в эквивалентной системе ввести дополнительные перемещения z₁ и z₂. (Напомним, что под эквивалентной системой понимается основная система, нагруженная дополнительно заданной внешней нагрузкой)

Вводимые в основной системе в жесткие узлы заделки называют плавающими, поскольку они отличаются от действительных жестких защемлений тем, что они оказывают препятствие только повороту узла, но не препятствуют собственным линейным смещениям.

Если основная система метода сил получается путем отбрасывания лишних связей, то основная система метода перемещений получается путем добавления связей. При этом повышается степень статической неопределимости заданной системы.

Степень кинематической неопределимости определяется как сумма числа жестких узлов и числа возможных линейных смещений узлов.

Ниже показаны примеры выбора основной системы метода перемещений.

Канонические уравнения метода перемещений

Рассмотрим работу основной системы в методе перемещений и сравним с работой заданной системы (рис. 2.7). В основной системе от действия внешней нагрузки в наложенных связях будут возникать реактивные усилия (реакции) R_1P и R_2P. Отметим, что R_1P = R′_1P + R′′_1P, поскольку в левом жестком узле расположены концы ригеля и левой стойки.

В заданной системе этих реакций нет. Реактивные моменты и силы можно обратить в нуль, если повернуть заделку на угол, равный действительному углу поворота z₁ и сместить узлы ригеля так, чтобы их смещение равнялось действительному смещению z₂.

Отрицание реактивных усилий в веденных связях лежит в основе канонических уравнений метода перемещений. Коротко эти уравнения можно записать так

R_1i = 0, R_2i = 0, … R_ni = 0 – сумма реакций в каждой наложенной связи равна нулю.

Рассмотрим подробно в развернутом виде для нашего примера первое уравнение

R_1i = R_1Р + R₁₁ + R₁₂ = 0, (а)

где: R_1Р - реакции в первой введенной связи от внешней нагрузки, R₁₁ - реакции в первой введенной связи от первого перемещения z₁, R₁₂ - реакции в первой введенной связи от от второго перемещения z₂ .

Реакции от перемещений можно представить в таком виде

R₁₁ = Z₁∙r_11, R₁₂ = Z₂∙r_12.

Z₁, Z₂ – искомые перемещения узлов, r₁₁, r₁₂ – реакции в наложенных связях от единичных смещений этих связей (рис. 2.8).

Тогда уравнение (а) примет вид

Z₁∙r₁₁ + Z₂∙r₁₂ + R_1Р = 0,

аналогично для второй связи

Z₁∙r₂₁ + Z₂∙r₂₂ + R_2Р = 0.

В общем виде система канонических уравнений метода перемещений имеет вид:

(4)

r₁₁, r₂₂, ... r_ii … r_nn - главные коэффициенты,

r₁₂, r₂₁, r₁₃, r₂₃ … r_ij - побочные коэффициенты. В соответствии с теоремой о взаимности реакций выполняется условие: r_ij = r_ji,

R_1Р, R_2Р,… R_nР – грузовые реакции (свободные члены системы алгебраических уравнений (4)).

Физический смысл канонических уравнений (4) заключается в следующем – сумма реакций в каждой наложенной связи от действия внешней нагрузки и от угловых и линейных смещений равна нулю.

Определение коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

Для определения коэффициентов и свободных членов канонических уравнений необходимо в основной системе построить эпюры моментов от нагрузки и от единичных смещений наложенных связей. Построение эпюр изгибающих моментов производится при помощи таблиц.

Значения коэффициентов и свободных членов получаем из рассмотрения равновесия узлов единичных и грузовой эпюр.

Порядок определения коэффициентов и свободных членов канонических уравнений покажем на примере.