А) для устойчивых систем; б) для неустойчивых систем

Если разомкнутая система устойчива или находится на границе устойчивости, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы при изменении частоты от - до + не охватывала точку (-1; j0) в положительном направлении. Положительным направлением называется пересечение отрезка действительной оси (-1; -  ) сверху вниз при движении в направлении возрастания частоты.

Устойчивость является необходимым условием нормального функционирования системы автоматического регулирования. Устойчивость должна иметь место, когда параметры системы в процессе эксплуатации изменяются. Это возможно если система обладает запасом устойчивости.

Так как устойчивость замкнутой системы оценивается критерием Найквиста по расположению амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы относительно критической точки, то в качестве оценки запаса устойчивости можно принять расстояние между годографом W и критической точкой (-I; j0). Но положение годографа на комплексной плоскости для каждого значения частоты характеризуется фазой и модулем. Поэтому вводят понятия запаса устойчивости по фазе и модулю.

Запас устойчивости по фазе характеризует удаление амплитудно-фазовой характеристики по дуге окружности единичного радиуса от критической точки и определяется углом между отрицательным направлением действительной оси и лучом, проведенным через начало координат и точку пересечения годографа W с окружностью единичного радиуса. Система с характеристикой I имеет меньший запас устойчивости по фазе ₁ по сравнению с системой, обладающей характеристикой 2 и запасом устойчивости по фазе ₂. (рисунок 2,а)

Запас устойчивости по модулю характеризует удаление амплитудно-фазовой характеристики от критической точки в направлении действительной оси. Величина и являются мерой оценки запаса устойчивости по модулю. Наибольший запас устойчивости по модулю соответствует величине ( рисунок 2,б).

Рисунок 2.- а) запас стойкости по фазе; б) запас стойкости по модулю

3.2 Типовые переходные процессы сар. Передаточные функции автоматических систем

Автоматическая система может быть представлена в виде уравнения или передаточной функции системы.

Уравнение динамики устанавливает зависимость выходной величины от входной для рассматриваемого процесса

Передаточную функцию получают в результате применения интегрального преобразования Лапласа к уравнению динамики. При этом входная и выходная переменные как функции времени преобразуются в функции и комплексного аргумента .

и называются изображениями и .

Отношение изображения выходной величины к изображению входной величины, называется передаточной функцией:

АСР может быть представлена в виде передаточной функции если при t<0 система находится в состоянии равновесия, т. е. выходная координата равна нулю.

Для составления передаточной функции любая автоматическая система представляется в виде алгоритмической структурной системы.

Графически алгоритмическая структурная схема изображается в виде прямоугольников, в которые вписываются передаточные функции звеньев. Связь между звеньями обозначают линиями со стрелками, указывающими направление передачи сигнала.

Звенья автоматической системы являются детектирующими, т. е. сигнал может проходить через звено только в одном направлении - от входа к выходу.

В качестве примера рассмотрим систему автоматического контроля температуры (рисунок 1).

Рисунок 1. – Схема системы автоматического контроля температуры

Температура измеряется термометром сопротивления, включенного в мостовую измерительную схему. Сопротивление термометра пропорционально температуре в аппарате. В случае несоответствия действительной температуры, сопротивление термометра сопротивления сравнивается с сопротивлениями R1, R2 и R3 и сигнал ошибки усиливается в транзисторном усилителе и воздействует на реверсивный двигатель, который приводит в движение указывающую стрелку прибора.

Для того чтобы составить алгоритмическую структурную схему АСК, необходимо представить рассматриваемую систему в виде функциональной структурной схемы (рисунок 2).

Определим передаточные функции для всех элементов системы.

0. Тепловой аппарат - объект регулирования является апериодическим звеном, у которого входная величина - количество тепла, поступающее от электронагревателя, а выходная - температура в аппарате. Передаточная функция звена

где К - коэффициент усиления аппарата;

Т - постоянная времени аппарата.

Рисунок 2. – Структурная схема контроля температуры

1 - чувствительный элемент; 2 - измерительная схема;

3 - усилитель; 4 - двигатель; 5 - записывающее устройство;

0 - тепловой аппарат.

1. Термометр сопротивления - измерительный элемент. Входной величиной является температура , а выходной - падение напряжения на сопротивлении. Термометр сопротивления представляет собой инерционное звено, имеющее передаточную функцию.

2. Транзисторный усилитель. Входной величиной является сигнал ошибки , подаваемый с элемента сравнения - измерительного моста на входе усилителя, а выходной - выходной ток усилителя . Усилитель является безинерционным звеном, его передаточная функция равна

3. Реверсивный двигатель служит исполнительным устройством и является инерционным звеном. Входной величиной является , а выходной - число оборотов двигателя “n”.

4. Показывающее устройство ( рычажная система ) является безинерционным звеном. Входной величиной является угол поворота двигателя, выходной - перемещение стрелки.

При исследовании и расчете системы возникает необходимость получения общей передаточной функции по передаточным функциям отдельных звеньев, включенных в схему. Эта задача решается, если известен вариант соединения звеньев: последовательное, параллельное и c обратной связью.

Передаточная функция последовательного соединения звеньев. Последовательным соединением звеньев называют такое соединение, при котором выходной сигнал предыдущего звена является входным для последующего (рисунок 3).

Рисунок 3.- Схема последовательного соединения звеньев

Исходя из определения передаточной функции запишем для каждого звена соответствующее уравнение:

Решая полученную систему уравнений относительно и при условии (1), будем иметь

Таким образом, общая передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению их передаточных функций.

Передаточные функции параллельного соединения звеньев. Параллельным соединением звеньев называется соединение, при котором входной сигнал для всех звеньев один и тот же, а их выходные сигналы суммируются (рисунок 4)

Рисунок 4 - Схема параллельного соединения звеньев

Из определения передаточной функции и структурной схемы имеем:

(2)

(3)

Складывая уравнения (2) и учитывая (3), получим

т. е.

- общая передаточная функция параллельного соединения звеньев.

Передаточная функция соединения обратной связью (встречное и параллельное соединение). Соединением обратной связью называется соединение, в котором выходной сигнал первого звена является выходным сигналом соединения и одновременно входным сигналом второго звена, а выходной сигнал второго звена, алгебраически суммируясь с входным сигналом системы, образует входной сигнал первого звена (рисунок 5).

Рисунок 5 - Схема соединения звеньев обратной связью

Суть обратной связи заключается в том, что выходной сигнал , преобразованный звеном , воздействует на входной сигнал системы и при этом либо усиливает действие входного сигнала

, либо ослабляет его

В первом случае связь называется положительной, во втором - отрицательной.

Исходя из определения передаточной функции и структурной схемы, получим систему уравнений

Знак ”+” соответствует положительной обратной связи, знак “-” отрицательной.

На схемах обычно принято отрицательную обратную связь обозначать зачерченным сектором в суммирующем элементе.

Исключив в системе уравнений (4) и и записав относительно , будем иметь

(5)

Из (5) следует, что общая передаточная функция соединения обратной связью представляет собой дробь, числитель которой равен передаточной функции звена (звеньев), расположенного (ных) между точкой воздействия входного и выходного сигналов системы, а знаменатель - увеличенному на единицу произведению передаточных функций всех звеньев системы