Раздел II Квантовая физика

4. Тепловое излучение

– спектральная плотность энергетической светимости (монохроматическая излучательная способность);

– полная (интегральная) энергетическая светимость;

– связь полной и монохроматической излучательной способности;

– спектральная поглощательная способность; для абсолютно черного тела ;

– закон Кирхгофа, где – универсальная функция Кирхгофа, одинаковая для всех тел;

– закон смещения Вина, где b=2.90^.10^-3 м^.К;

– второй закон Вина, где b’=1.29^.10^-5 Вт^.м^-3.К^-5;

– закон Стефана-Больцмана (для абсолютно черного тела), где =5.67^.10^-8 Вт^.м^-2К^-4;

– для серого тела, где а – коэффициент серости (черноты);

– формула Планка.

Примеры решения задач

З адача 4

Теплопроводящий шар по размеру равен объему Земли (R=6.4^.10⁶ м). Удельная теплоемкость 200 Дж/кг^.К, плотность шара 5500 кг/м³, начальная температура 300 К. Определить время остывания шара на 0.001 К. Шар считать абсолютно черным.

Решение:

По определению полной энергетической светимости: ; здесь – излучённая телом площади S за время dt энергия; – количество теплоты, полученной телом массой m при нагреве на dT. По закону Стефана-Больцмана для абсолютно чёрного тела . Тогда , или , откуда . Проинтегрируем это равенство и вынесем постоянные величины за знак интеграла: . Отсюда , или: . После преобразований получим: . Поскольку , в числителе можно пренебречь двумя последними слагаемыми, и в знаменателе – вторым слагаемым; тогда .

Масса шара , а площадь поверхности , тогда

.

Ответ: t=5.11^.10⁶ с = 59 суток.

91. Приняв температуру Солнца равной 6000 К, определить: а) мощность, излучаемую с 1 м² его поверхности, б) длину волны, соответствующую максимуму спектральной плотности энергетической светимости, в) максимальную спектральную плотность энергетической светимости. Принять Солнце за абсолютно черное тело.

92. Температура «голубой» звезды 30000 К. Определить: а) интегральную интенсивность излучения, б) длину волны, соответствующую максимуму спектральной плотности энергетической светимости, в) максимальную спектральную плотность энергетической светимости.

93. Какую долю энергии, ежесекундно получаемой от Солнца, излучал бы земной шар, если бы температура его поверхности везде равнялась бы 273 К и коэффициент поглощения равнялся бы 1? Солнечная постоянная (мощность излучения, падающего на единицу площади, помещенной перпендикулярно солнечным лучам за пределами земной атмосферы на расстоянии от Солнца, равном среднему расстоянию между Землей и Солнцем) равна 2 кал/см^2.мин (перевести в единицы СИ).

94. Солнечная постоянная Е_с (мощность излучения, падающего на единицу площади, помещенной перпендикулярно солнечным лучам за пределами земной атмосферы на расстоянии от Солнца, равном среднему расстоянию между Землей и Солнцем 1.5^.10⁸ км) равна 1400 Вт/м². Определить радиационную температуру поверхности Солнца, если его радиус R_с=6.9^.10⁵ км.

95. Определить температуру абсолютно черной не теплопроводящей пластинки, расположенной за пределами земной атмосферы перпендикулярно лучам Солнца, если при этом на каждый 1^.10^-4 м² за 60 с падает 8.2 Дж энергии. Излучение считать равновесным.

96. Определить температуру теплопроводящей сферы, помещенной за пределами земной атмосферы. Сферу считать абсолютно черной, а излучение равновесным. Солнечная постоянная равна 1400 Вт/м².

97. Определить лучистые теплопотери человека в мороз при температуре воздуха 250 К за 1 минуту. Площадь поверхности человека 2 м², поглощательная способность 0.2.

98. Вычислить энергию, теряемую человеком ежесекундно при теплообмене лучеиспусканием (и поглощением) с окружающей средой. Рассмотреть два случая: а) раздетый человек; б) человек, одетый в костюм из шерстяной ткани. Принять коэффициент поглощения кожи человека 0.9, шерстяной ткани 0.76. Температуры поверхности кожи 30⁰, поверхности ткани 20⁰ и окружающего воздуха 18⁰. Площадь поверхности 1.2 м².

99. Определить поглощательную способность а серого тела, температура которого равна 1400 К, если тело нагревается током силой 1 А, падение напряжения на клеммах, соединенных с телом, 200 В, а площадь поверхности тела 1^.10^-3 м².

100. Поток излучения абсолютно черного тела 10⁴ Вт, максимум спектральной плотности энергетической светимости приходится на длину волны 10^-6 м. Определить площадь излучающей поверхности.

101. Определить радиус сферического зеркала, используемого в качестве конденсора гелиопечи, в фокусе которой помещен цилиндрический теплопроводящий образец высотой 1^.10^-2 м и радиусом 1^.10^-2 м, плавящийся при температуре 1300 К. Излучение сфокусировано на дно цилиндра. Гелиопечь находится в вакуумированном сосуде.

102. Полагая, что Солнце обладает свойствами абсолютно черного тела, определить интенсивность солнечного излучения вблизи Земли за пределами ее атмосферы (солнечную постоянную). Температура солнечной поверхности равна 5785 К.

103. Определить температуру и полную испускательную способность абсолютно черного тела, если максимум энергии излучения приходится на длину волны 400 нм.

104. Как и во сколько раз изменится полная испускательная способность абсолютно черного тела, если максимум энергии излучения переместился с красной границы видимого спектра (780 нм) на фиолетовую (390 нм)?

105. Температура вольфрамовой спирали электрической лампочки равна 2450 К, мощность излучения равна 25 Вт. Отношение интенсивности ее излучения к интенсивности абсолютно черного тела при данной температуре равно 0.3. Найти площадь излучающей поверхности спирали.

106. Абсолютно черное тело находится при температуре 3000 К. В результате остывания этого тела длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, изменилась на 12 мкм. До какой температуры охладилось тело?

107. Из смотрового окошечка печи излучается поток 4 кДж/мин. Определить температуру печи, если площадь окошечка 8 см², и длину волны, на которую приходится максимум энергии излучения.

108. Определить количество теплоты, теряемое поверхностью расплавленной платины площадью 50 см² за 1 минуту, если поглощательная способность платины равна 0.8. Температура плавления платины 1770⁰С.

109. Полная энергетическая светимость черного тела 10 кВт/м². Определить длину волны, соответствующую максимуму спектральной плотности энергетической светимости этого тела.

110. Температура абсолютно черного тела увеличилась в 2 раза, в результате чего длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, уменьшилась на 6^.10^-7 м. Определить начальную и конечную температуру тела.

111. Какую температуру должно иметь тело, чтобы оно при температуре окружающей среды 290 К излучало в 100 раз больше энергии, чем поглощало?

112. По пластинке идет электрический ток, в результате чего она достигает равновесной температуры 1400 К. После этого мощность электрического тока уменьшается в два раза. Определить новую равновесную температуру.

113. Равновесная температура тела равняется Т₁. Площадь излучения S, поглощательная способность а. Выделяемая в теле мощность увеличивается на ΔP. Определить новую равновесную температуру.

114. По пластинке длиной 3^.10^-2 м и шириной 1^.10^-2 м проходит ток напряжением 2 В. После установления теплового равновесия температура пластинки составила 1050 К. Определить силу тока, если поглощательная способность пластинки 0.8. Температуру пластинки считать постоянной по всей ее площади.

115. Теплопроводящий шар по размеру равен объему Земли (R=6.4^.10⁶ м). Удельная теплоемкость 200 Дж/кг^.К, плотность шара 5500 кг/м³, начальная температура 300 К. Определить время остывания шара на 0.001 К. Шар считать абсолютно черным.

116. Определить температуру абсолютно черной теплопроводящей пластинки, расположенной за пределами земной атмосферы перпендикулярно лучам Солнца, если при этом на каждый 1^.10^-4 м² за 60 с падает 8.2 Дж энергии. Излучение считать равновесным.

117. Какова предельная температура нагревания электроутюга мощностью 600 Вт в вакууме, если площадь излучающей поверхности 3^.10^-2 м², а поглощательная способность а=0.2? Температура поля излучения окружающей среды Т₀=300 К.

118. Найти мощность излучения единицы поверхности абсолютно черного тела, приходящегося на узкий интервал длин волн 1 нм вблизи максимума спектральной плотности излучения при температуре тела 3000 К.

119. Определить относительную погрешность в определении постоянной Планка по результатам пирометрического исследования теплового излучения серого тела, проведенным без учета его интегральной степени черноты. Радиационная температура, измеренная экспериментально, 1400 К. Температура, определяемая одновременно термопарой, равна 1700 К.

120. Металлическая поверхность площадью 15 см², нагретая до 3000 К, излучает за 1 минуту энергию 100000 Дж. Найти коэффициент серости поверхности и радиационную температуру. Чему равна энергия, которую излучала бы эта поверхность, если бы была абсолютно черной?