Задача потребительского выбора и ее графическая интерпретация

Потребитель на рынке совершенной конкуренции осуществляет выбор между двумя взаимозаменяемыми благами и , цены которых равны и соответственно. Бюджет потребителя равен M денежных единиц.

Определение 2.4. Бюджетной линией или изокостой бюджетного множества потребителя называется геометрическое место точек, включающих следующие комбинации благ в пространстве :

(2.9)

Условие (2.9) задает прямую, ограничивающую (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Бюджетное множество наборов потребительских благ для случая двух благ.

Преобразовав (2.9), получим:

(2.10)

(предполагая ).

Соотношение (2.10) показывает, что изокосты обладают следующими свойствами:

• параллельны и характеризуются отрицательным угловым коэффициентом, равным обратному отношению цен благ;

• при неизменных ценах включенных в потребительский набор благ большему значению бюджета соответствует более высокая бюджетная линия.

Таким образом, бюджетная линия ограничивает область возможного выбора потребителя, а ее наклон характеризует соотношение цен приобретаемых благ.

Задача потребительского выбора связана с выбором набора благ , обладающего для потребителя максимальной порядковой полезностью, определяемой значением .

Графическая иллюстрация задачи потребительского выбора приведена на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Графическая иллюстрация задачи потребительского выбора для случая набора из двух благ.

Принадлежность неоклассической СФПП классу дважды непрерывно дифференцируемых функций позволяет рассматривать формализованную постановку задачи потребительского выбора.

Содержание модели потребительского выбора состоит в определении наборов потребительских благ из бюджетного множества потребителя, обладающих наибольшей порядковой полезностью с позиции его предпочтений:

(2.11)

(2.12)

. (2.13)

В отличие от модели минимизации производственных издержек с нелинейной системой ограничений и линейным функционалом, модель потребительского выбора, задаваемая системой соотношений (2.11)-(2.13), является диаметрально противоположной: целевая функция нелинейна, а система ограничений – линейная. При этом систему ограничений модели потребительского выбора составляют бюджетное ограничение потребителя и условия неотрицательности объемов потребляемых благ, а в качестве функционала используется СФПП .

В силу выпуклости отношения предпочтения « » и ограниченности экономической области потребителя Ω, можно утверждать, что оптимизационная задача (2.11)-(2.13) имеет и притом единственное решение , задающее функцию спроса потребителя на приобретаемые блага при заданном уровне цен и бюджете.

Рассмотрим ограничение (2.12). Поскольку является неиспользованным остатком бюджета M, то, увеличивая потребление любого (например, i - го) блага на величину , можно сформировать новый набор благ , который в силу свойства ненасыщаемости отношения потребительского предпочтения строго доминирует исходный, т.е. , а, следовательно, для него справедливо: .

Последнее противоречит оптимальности набора , доставляющего максимум СФПП .

С учетом сделанного замечания ограничение (2.12) может быть заменено на следующее:

(2.12’)

Для решения задачи потребительского выбора (2.11), (2.12’), (2.13), являющейся задачей на условный экстремум с ограничениями в виде равенств, следует использовать необходимые и достаточные условия оптимальности решения, вытекающие из теоремы Куна-Таккера и составить функцию Лагранжа, которая для случая с критерием на максимум записывается следующим образом:

. (2.14)

Оптимальное решение задачи (2.11), (2.12’), (2.13) найдем, решая следующую систему уравнений, отражающую необходимые условия экстремума функции Лагранжа:

; (2.15)

; (2.16)

, (2.13’)

Преобразуя соотношения (2.15), (2.16), получим:

; (2.15’)

(2.12’’)

Непосредственным следствием уравнений (2.15’) являются следующие соотношения, составляющие выводы неокейнсианской теории предельной полезности благ:

• в точке оптимума предельные полезности благ прямо пропорциональны их рыночным ценам ², :

; (2.17)

• в точке оптимума предельная полезность блага, приходящаяся на ед. его рыночной стоимости, одинакова для всех благ набора и совпадает с множителем Лагранжа :

. (2.18)

Воспользовавшись результатом (2.18), являющимся следствием математической модели потребительской изокванты, и соотношением (2.17), можно заключить, что в точке предельная норма замены потребительских благ обратно пропорциональна их рыночным ценам:

. (2.19)

Экономическая интерпретация множителя Лагранжа в модели потребительского выбора связана с ограничением (2.12’): совпадает с предельной полезностью бюджетных средств потребителя.