Вопрос 7. Экономическое содержание двойственности. Способы получения и практическое использование оценок ресурсов и технологий.

В качестве примера рассмотрим простейшую модель оптимизации производства по критерию максимума дохода в случае, когда для производства j-й продукции используется один технологический способ производства Т_j ( j = 1,2,..., n). Пусть р_j — доход от реализации продукции, изготовляемой однократным применением j-й технологии. Тогда вектор “выпуск-затраты”, описывающий j-й производственный способ имеет вид Р_j =( р_j ; a_1j , a_2j ,..., a_ij ,..., a_nj), где a_ij — затраты i-го ресурса ( i =1,2,..., т) при однократном применении j-й технологии. Состояние производственной системы задается вектором интенсивностей использования технологий Т₁,..., Т_n. Вектор “выпуск-затраты”, описывающий функционирование производственной системы, имеет вид . При этом выпуск товарной продукции равен , а затраты i-го ресурса составляют величину .

(2.7-2.9)

Рассмотрим модель с точки зрения ценности имеющихся у предприятия ресурсов. Каждый вид ресурса обладает некоторой “теневой ценой”, определяющей ценность данного ресурса для предприятия с точки зрения дохода от реализации выпускаемой продукции и зависящей от наличного запаса этого ресурса и потребности в нем для выпуска продукции.

Если предприятие ограничивается одним производственным способом, требующим больших затрат некоторого ресурса, запасы которого ограничены, то теневая цена этого ресурса будет велика. Однако установленные в соответствии с этим способом производства теневые цены не будут наилучшими, так как введение других производственных способов позволяет более рационально использовать все запасы ресурсов.

Экономический результат совпадает с затраченными ресурсами, исчисленными в их теневых ценах. Оптимальные теневые цены называют объективно обусловленными оценками (о.о.о.) или оптимальными оценками, или двойственными оценками ресурсов.

Для определения о.о.о. ресурсов составим самостоятельную задачу линейного программирования.

Обозначим через у_i ( i =1,2,..., m) о.о.о. i-го ресурса. Величины у_i должны быть такими, чтобы сумма теневых цен ресурсов, затрачиваемых при любом используемом производственном способе, не была меньше величины дохода р_j :

Если производственная система находится в оптимальном состоянии, то ресурсы потребляются в соответствии с их о.о.о., а их суммарная теневая цена является наименьшей возможной

Таким образом, задача определения о.о.о. ресурсов формулируется как следующая оптимизационная задача:

Задача линейного программирования (2.21)-(2.23) называется двойственной задачей по отношению к задаче (2.7)-(2.9). Прямая и двойственная задачи тесно связаны между собой. Эта связь заключается в следующем:

• если прямая задача является задачей на максимум, то двойственная задача — на минимум;

• коэффициенты целевой функции в прямой задаче являются свободными членами в ограничениях двойственной задачи и, наоборот, свободные члены из ограничений прямой задачи являются коэффициентами целевой функции двойственной задачи;

• коэффициенты при переменных в ограничениях двойственной задачи являются столбцами матрицы коэффициентов ограничений прямой задачи;

• знаки неравенств в системе ограничений прямой задачи меняются на противоположные в системе ограничений двойственной задачи.

Установим связь между решениями прямой и двойственной задач линейного программирования.

Также как и в предыдущем пункте, примем в прямой задаче переменные x₁,..., x_n за свободные и сформулируем ее в виде модели (2.11), (2.12), (2.9), обозначив переменные группы t_i через переменные x_{n+ i} :

с = 0 -  max;

x_{n+ i} = b_i - , x_{n+ i}   (i=1,2,..., m);

х_j  0 (j=1,2,..., n).

Этой задаче соответствует матрица коэффициентов

. (2.24)

В двойственной задаче примем за свободные переменные у₁ ,..., у_m и сформулируем ее в следующем виде:

q = 0 +

у_{m+ j} = -

у _i  ; ( i =1,2,..., m).

Отметим, что экономическое содержание переменных у_{m+ j} — превышение теневой цены вектора затрат по i-му производственному способу над доходами, выраженными в величине выпуска р _j.

Этой задаче соответствует матрица коэффициентов:

. (2.25)

Столбцы матрицы (2.25) являются строками матрицы (2.24), Следовательно, прямая и двойственная задачи описываются одной и той же матрицей, в которой должно быть установлено следующее соответствие между переменными:

(2.26)

Отметим, что любое преобразование матрицы (2.24) по правилам симплекс процедуры приводит к новой матрице, которая описывает новое допустимое (или оптимальное) решение как прямой, так и двойственной задач.

Отсюда следуют важные соотношения, выражающие математические свойства решений прямой и двойственной задач (1и 2 теоремы двойственности):

1)равенство экстремальных значений целевых функций (верхний левый угол таблиц коэффициентов в последней симплекс-таблице):

2) свободные переменные в оптимальном решении прямой задачи (принимают нулевое значение) соответствуют (в силу 2.26) базисным переменным оптимального решения двойственной задачи (принимают положительные значения) и наоборот. Таким образом, справедливы следующие соотношения “дополняющей нежесткости”:

(2.28)

Краткая экономическая интерпретация соотношений:

Итак, соотношение (2.27) показывает, что в оптимальном состоянии суммарный выпуск предприятия совпадает с затратами производственных ресурсов, исчисленными в их теневых ценах. Первое из соотношений (2.28) показывает, что, если i-й производственный ресурс является недефицитным (т.е. выражение в круглых скобках строго положительно), то его теневая цена равна нулю. Наконец, второе из соотношений (2.28) показывает, что если j-й производственный способ является интенсивным, т.е. , то величина выпуска р _j совпадает с затратами производственных ресурсов по этой технологии.

Экономическая интерпретация двойственных оценок:

• Для продуктов – это упущенная выгода в случае включения данного продукта в производственную программу (насколько уменьшится совокупный выпуск, если мы решим отвлечь недефицитные ресурсы на выпуск 1 ед. этого продукта);

• Для ресурсов – предельная отдача ресурсов (насколько увеличится совокупный выпуск при увеличении данного ресурса на 1 ед.).

Свойства двойственных оценок: